若是将两个坐标系看成是同样的坐标系，而忽略它们的相对加速，再根据狭义相对论，这样一个结论就出现了：若是存在着引力场，那么，欧几里得的几何定律就无法规定固体在空间中排列所遵循的定律。与此类似的结果也可由时钟运动获得。我们原先以为能用量杆和时钟来度量空间和时间，可现在这种说法已经不具有解释力，如此一来，我们就只能在更广的领域中推广空间和时间的理论。高斯和黎曼两位已经在纯粹的数学领域内推广了度规。一般而言，在小范围内，狭义相对论的度规依旧有效。这一事实也就是推广物理学上度规的依据。
在我们所说的这些范围内，时空坐标并非独立存在。必须把时空坐标和概括引力场的数学量结合起来，才能获得度规的实在性。
影响广义相对论发展的还有另外一个因素。牛顿的一些理论也曾经遭到恩斯特·马赫的质疑，比如牛顿的这个说法：人们如果只是纯粹地描述物体运动，而不从因果角度加以研究，那么相对运动就是一切物体之间的运动的本质。牛顿的这个观点是自相矛盾的，若是依据牛顿提出的相对运动这个概念，运动方程中的加速度问题就没法理解，牛顿同样也意识到了这一点。牛顿因此臆想出一种物理空间以解决此矛盾，并假定加速度存在的依据就是这种空间，加速度的存在是相对于这种空间的。在逻辑上，这种绝对空间概念的引进并没有问题，然而总让人觉得说服力不强。马赫曾为此想过对引力方程加以修改，他想将引力方程中的加速度改变为相对于其余全部有重物体，而不是相对于绝对空间。受到当时知识水平的限制，他不可能实现这种想法。
虽然改变是不可能的，然而人们已经发现了问题。因为从广义相对论的角度来看，空间的物理性质是受到有重物质的影响的，所以这个怀疑在广义相对论的支持下就更有力量。我认为，若想用广义相对论完美地解决这个问题，只有把世界在空间上看成是闭合的。如果世界上的有重物质的平均密度存在着确切的数值，而且此数值并不是无限小的，那么无论它有多小，用数学方法借助这个理论将会获得一个结论，并且这个结论就是客观存在的真理。
几何学和经验
数学是一切科学的学科里面最为人所尊重的，原因何在？因为其命题从来无需争辩，具有绝对的唯一性，这种程度的正确性是其他所有学科的命题都无法达到的。无论是哪一门学科，总有地方能产生争辩，并且还总是面临着被新的发现所取代的危险。即便如此，别的学科的人也不用对数学家有所妒忌，因为数学命题根本就没办法找到实在的对应客体，其命题对象仅仅存在于想象中。在数学领域，只要某个基本命题或公理得到众人的一致认同，那么有着相同逻辑的其他公理或结论也就必定会产生。数学能够给其他自然科学提供可靠的数据支撑，若是没有数学，其他科学也许就无法被证实，这也是数学有着极高声誉的另一个原因。
有一个谜是历史上的探索者都非常感兴趣的，接下来我就要将这个谜揭示出来。数学既然只是靠思维而来，无关于经验，那么为什么它还可以适用于无数客观存在的个体上面呢？人类是否能够无需经验而只凭思维就可以获得无数个事实呢？
我个人认为，我们应该如此理解：数学命题的可靠性和实在性是成反比的，即实在性越强，其命题的可靠程度就越是值得怀疑。要想弄清楚这种情况，我们要借助数学里面的“公理学”。公理学可以将何谓逻辑-形式、何谓客观或直观的内容分得一清二楚。在公理学里面，只有逻辑-形式可以构成数学题材，其他一切东西都与此无关。
接下来，我们借助这个观点对一条数学公理进行解释：有且仅有一条直线连接空间中任意的两个点。这条公理具体应该如何解释呢？我们要分古代的解释和近代的解释两种情况来说明。
古代的解释是：在很早的时候，大家就已经非常清楚直线和点的含义了。可这种知识到底是如何获得的，还真说不太清楚。它到底是经验的总结，还是人类思维的自然结果呢？又或者，是这两者的结合产生了它？抑或是它的来源在其他地方？这个问题数学家无法解决。于是这个问题就被哲学家接了过去。这条公理是一种自明的公理，大概是所有的数学知识中最早为人所发现的。
近代的解释是：直线、点等概念是几何学的基础。无需什么知识或经验的储备，只要告诉你这样的公理，你就能够接受这些知识。人们完全是在纯粹形式的意义上理解这些公理，跟一切直觉或经验都无关。只要运用逻辑思维，人们就能将这些公理自由地创造出来。所以，从逻辑上对公理进行推论构成了几何学命题的主干。几何学完全凭着对公理的定义来决定如何处理事物。斯里克曾针对认识论写了一本书，他说，公理实质上就是“隐形的定义”。
数学的所有外在附加因素都被现代公理学的观点删除得干干净净，数学因此有了更清晰的基础，人们也就看清了此前的诸多疑团。这种对于数学的解释是被修正过的，不过无法更明了地解释实际客体和直觉对象。当在几何中运用公理学时，“点”、“直线”等也失去了其实质的内容，仅仅作为符号存在，数学无法将任何内容附加到它们上面。
数学，尤其是几何学，有着非常特殊的存在理由，即为了确切地描述或规定实际客体的某个或某些方面。“几何”这个词的本意是测量土地，就很好地说明了这一点。在测量土地时，还要排列组合诸如地球的某些部分、量绳、量杆等自然对象。所以，公理学的几何概念体系无法完成这一任务，即它们无法明确地断言这些实际客体。因此几何学就要进行修订，去掉那些单纯的逻辑形式，将公理学中的几何概念与经验的实际客体一一对应，以满足这项任务。因此，接下来的一条命题就是必须的，即“三维欧几里得几何里的形体关系和固体间的排列关系是相等的”。有了这一条，欧几里得的命题就能够包含有关实际客体行为的断言了。
几何学通过这种方式就被作为自然科学的一种了。而实际上，我们也可以说最古老的物理学就是它。在此形势之下，它的断言就不仅仅是依靠逻辑推理来完成了，而拥有了经验的归纳这一根据。几何学被如此修改后，称作“实际几何”才更合适，因此，对另外一个几何——“纯粹公理学的几何”我们就要搞清楚，并且将二者的区分弄明白。我们只能凭借经验来回答这个问题：宇宙的实际几何到底能否归之于欧几里得几何？如果我们对“光是沿直线传播的”这条经验定律表示承认，并且认可“实际上光传播的轨道是‘实际几何’意义上的直线”，那么，物理学中的所有长度度量，包括天文学和测地学上的一切长度度量都能被囊括在这种“实际几何”中。
对于这种“实际几何”的观点，我要表示特别的感谢，因为我之所以能建立现在的相对论，要得益于它。若是这种意义上的几何学不存在，下面这个问题也就没有意义了：如果有一个参照系相对于惯性系运动，因为洛伦兹收缩的存在，所以刚体的排列定律不再吻合于欧几里得几何的规则，因此，如果承认非惯性系也有着相同的地位，那么就必须要放弃欧几里得几何。并且，上述解释要是不存在，那么就很难确定向广义协变方程过渡的决定性一步。我们如果认为，在公理学欧几里得几何里面获得的物体形体，和实际的刚体之间存在着对应关系，那么就好像深刻而敏锐的思想家彭加勒所说：别的所有能够设想的公理学的几何都无法达到欧几里得几何的简单性。
……若是真的有不可调和的矛盾存在于理论和经验之间，那么我宁愿改变物理定律，而维持公理学的欧几里得几何。……
对于实际刚体和几何体之间存在的等效性，有的研究者并不认同，事实上这种等效性很容易看到。为什么他们会如此认为呢？他们在更深入地考察后发现，刚性从未出现在自然界中那些实际固体身上，是温度、外力等因素决定了这些固体的几何性状。如此一来，就破坏了在几何与物理之间存在着的那种直接而原始的关系。彭加勒从最一般的原理入手，他的观点值得我们重视。不能完全用几何（G）来断言实在事物的性状，而几何必须彻底跟物理定律（P）相结合才可以做到对事物形状的断言。我们能用符号来这样表示：当且仅当（G）和（（P）相加时，才能够获得实验的结果。在这里，（G）或者（P）的某些部分都是我们能够任意选取的，因为一切物理定律都是规定了的。对于其余部分（P）的选取我们要把握好，要确保将（G）和所有的（P）合并起来时不与经验相矛盾，如此才能免于陷入自相矛盾的境况。我们若是从这个方面思考问题，就认识角度而言，公理学的几何等效于那些已有公认地位的自然规律。
从永恒的观点来说，彭加勒的理论是找不到错误的，这一点我要承认。我们无法在现实世界里找到确切地对应理论的东西，例如我们在现实中就找不到相对论里面的量杆和与它搭配的时钟的对应物。很明显，固体和时钟在物理学的概念大厦中所扮演的角色，并不是无法简约的元素，它们有着复合式的结构。这种元素无法担当起理论物理学中的任何一个独立角色。然而，就理论物理学当下的发展情形来说，我们必须要独立使用这些概念，因为在原子结构理论方面，我们的知识还极为贫乏，使得我们无法在理论上将之当做构成时钟和固体的基本概念。
此外还有一种截然相反的观点我也有所注意，这种观点对于自然界中存在着真正的刚体这一点表示否认，若是此观点成立，刚体性质对于物理实在就不能适用。可是，我们无需绞尽脑汁地研究此观点，因为它实际上并没有什么重要性。要想准确无误地测定量具的物理状态，并对它的性状能毫无疑问地代替刚体这一点进行验证，是非常容易的。然而，恰恰是那些和刚体有关的陈述，必须要对这种量具进行参照。
所以，我们能够说，整个实际几何的基础已经被经验所能验证的原理构造起来了。我们来看看这条原理是怎样的：我们能够将两个标记放在一个实际的刚体上，并用“一个截断”来称呼这对记号。假设有两个实际刚体在我们手上，且它们上面各有一个截断。如果一个截断两端的记号永远重合于另外一个，那么，我们就能认定，这是两个彼此“相等”的截断。好，我们再进行这么一个假设：
这两个截断如果在某时某地是相等的，那么无论在什么时间、什么地点它们都会相等。欧几里得的实际几何——黎曼的实际几何是对此理论最接近的推广。并且，这个假定也是广义相对论的基础。这个假定能够为许多实验提供依据，比如这个例子：光在真空中传播时，在任何一个确定的时间和地点中都有一个确定的截断，即光的相应路程。相反的情况同样成立。我们可以从此点发现：在相对论中时钟的时间间隔问题上，同样适用截断假定。
我们因此可以这么说：如果两只理想的钟表在任何地点和时间的行走速度一样，那么无论在什么地点和什么时间，这两只钟表行走的速度永远是一样的。实际存在的钟表如果不遵从这个定律，我们就会看到，被分割开来的同一种元素中的原子的本征频率就不会有严格的一致，这一点跟经验不同。从实验中我们了解到存在着锐光谱线，上面说的实际几何原理从这个结果中获得了有力的支持。说了这么些，我们总算可以面对这么一个问题了：四维空间——时间连续区的黎曼度规的形成原因。
目前而言，这个连续区的结构到底是来自欧几里得、黎曼或者是任何别的什么人，我们还无法确切地知道。要想对这个物理学本身的问题作出解答，我们不能只图方便而作出约定选择，而必须依靠经验。如果我们对时间-空间问题的考察只是局限在一片很小的区域里，那么实际刚体的排列定律就跟欧几里得几何体的定律极为接近，在此情况之下，黎曼的几何理论才可以成立。
的确，在小于分子数量级的空间内直接运用这个几何学的物理释义是不行的。可是，这个做法至少能在一定程度上解决一些和基本粒子的组成有关的问题。我们在描述组成物质的带电基本粒子的时候，可以尝试将一定的物理意义赋予场的概念。而在此前，我们只有在描述比分子大得多的物体的几何性状时才运用这些概念，并将一个物理定义给予这些物体。如今，我们想在物理定义之外的范畴使用黎曼几何的基本原理，还希望它的物理实在意义依旧存在，当然，目前来说这种努力能否成功还不能断言，答案只能等待试验结果的验证。或许结果会是这样：较之于温度概念外推到分子数量级的物体时，这种外推的很多依据有所不足。
将实际几何的概念推广到宇宙数量级的空间上，就表面上而言没有太多的问题。然而，我们也要注意那些反对意见。这种意见说道：若是固体杆组成结构的空间越大，则在这种结构中越不可能体现理想刚性。我认为，这种意见对问题的实质并未涉及。因为对于宇宙在空间上是否有极限这个问题的研究，在实际几何学的意义上是很有必要的。我甚至觉得，天文学在不久的将来能够给出这个问题的答案。广义相对论在这个方面就提出了两个可能：
第一，宇宙在空间上具有无限性。只有在一定的条件之下，才能够产生这种无限性。这个条件也就是：在宇宙星体中集中的物质平均空间密度为零；这个条件也就是在说：当考察的空间容积越来越大，星体的总质量和其所处的整个空间容积的比率无限趋近于零。
第二，宇宙在空间上具有有限性。在宇宙空间的重物质平均密度不为零时，就能实现这种有限性。因为平均密度越小，就意味着宇宙的容积越大。
我还要特别说明的是，我们可以列举出一个理论来论证这个关于宇宙有限性的假说。既定物质的惯性，会随着它附近有重物质的增加而变大，这是广义相对论里的一个观点。因此，将一个物体的总惯性和与其同宇宙中的其他物质之间的相互作用相联系，就是自然而然的。从广义相对论的方程中，我们能获得这个结论：要想将惯性的原因归结为物体之间的相互作用，就必须承认宇宙的有限性。
物理学家和天文学家并未适当地重视这个论证。我们在分析之后可以发现：两种可能性在现实中存在的状况，取决于经验。那么，能够验证这种状况的为什么只有经验呢？
