但是，对数的底数取多少是很有学问的。以10为底当然省事，但计算却很困难，比如对于lgN=0．02，那么真数，N=100.02=（102）1100=100100≈1．047，这显然是比较麻烦的。如果我们取底数为α=（1．01）100，这时如果logαN=0．02，那么其真数N=〔（1．01）100〕0.02=（1．01）2≈1．02，以此类推，对于logαN=0.03对应有N≈1．03，对于logαN=0．04对应有N≈1．04等等。这样就方便多了。
上述底数的形式可归纳为an（1+1n）n，对于上例n=100，如果n取得越大，结果将会越好。因此纳皮尔第一张对数表取的底数为：
α=（1+11000000）1000000
1727年欧拉用二项式定理证明αn是单调递增，并且对于n∞时，存在极限，并用他名字的第一字母命名为这个极限值：
e=limn∞（1+1n）n
这就是自然对数的底数，它可以由以下的级数来求得：
e=2+12！+13！+14！+…+1n！+…
计算可得：e=2．718281828459045……
e对于对数来讲，确实是最为理想的底数了。不但如此，许多自然规律也都与e有关。比如：声学中平面波强度衰减的规律是，I=IOe-2ax；大气压力P和高度h的关系是Pn=pOe-lh；电容器放电时的电压V与时间t的关系是Vt=VOe-tRC；双金属产生的温差电动势也与自然对数有关：ε=K（T1-T2）qlnnAnB；一个螺旋管的自感系数为L=μαN2h2πlnbα；放射性元素的衰变定律为N=NO-λt等等。即使是日常生活中连续利率的计算都会用到e，也就是说，如果银行的年利率为100％，其利息是每时每刻都在计算利息，而这个利息义立刻累加到本金中产生新的利息，那么当你存入1元，一年后可以得到的钱正好是e=2．718元。另外，数学家已经证明，e也是一个超越数。
由此可见，e反映了自然界中一种普遍的规律，它有助于我们去进一步探索自然的奥秘，去发现新的物理定律。反过来，在更深刻了解大自然的同时，也必将对e的含义和本质会有新的理解。
神秘的“勾股定理”
由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，归纳出“勾股定理”的一般方程：
x2+y2=z2实际上，如果x、y、z是非零正整数的话，上述方程变成一个求非零正整数解的不定方程。
通常满足上述不定方程的非零正整数解称为勾股数组，比如（3，4，5），（7．24，25），（14，48，50）等等，都是勾股数组。
如何来寻求这些勾股数组？古今中外的数学家们各显神通，已经提出许多种表达式：
毕达哥拉斯法则为：
x=n，y=12（n2-1），z=12（n2+1）（其中n为正奇数）
柏拉图法则为：
x=m，y=14（m2-1），z=14（m2+1）（其中m为正偶数）
欧几里得法则为：
x=mn，y=12（m-n），z=12（m+n）（其中m，n同奇偶，并且mn为完全平方数）
丢番都法则为：
x=m+2mn，y=n+2mn，z=m+n+2mn（其中2mn为完全平方数）
但是最为简便的法则是我国清朝的数学家罗士琳提出的法则：
只要取m、n为任意的正整数，并且m>n，那么按下面法则
x=m2-n2
y=2mn
z=m2+n2
构成的x、y、z必然是勾股数组，满足x2+y2=z2。
尽管各种法则都可以找到一定数量的勾股数组，但是都不能找到全部的勾股数组。以罗士琳法则来讲，（9，12，15）这组勾股数就无法体现。因为，如果x=9，y=12，z=15时，求不到相应的m，n。
为此，能不能有更通用的法则，使x2+y2=z2求得全部x，y，z的非零正整数解？由此看来，人们对于“勾股定理”的神秘，还需进一步的探索。
苹果落地的传说
关于牛顿看到一只熟透的苹果从树上落下来掉在地上，从而使牛顿联想到万有引力的故事，恐怕已流传了三百多年了。每每听到这个故事，人们不禁要扪心自问：原来这么简单，我怎么没有发现呢？
牛顿正是如此，如果一个物理规律仅仅从一只苹果落地就被发现了，那么大自然早就失去她的魅力了。实际上，“牛顿看到苹果落地……”这只能说是一个美好的传说。
牛顿发现万有引力定律并不是孤立的。在牛顿之前，伽利略在1609年发现了自由落体定律，他通过实验证明了所有物体在真空里的下落速度一样快，并且证明了自由落体是匀加速运动。此后，开普勒研究了行星的运动规律，他在1619年之前先后提出了开普勒第一、第二和第三定律。其中尤以开普勒第三定律为最著名，它是说：任何两个行星公转周期的平方同轨道半径的立方成正比。牛顿的功绩仅仅是把伽利略的自由落体定律和开普勒的行星定律，用他的万有引力定律统一了起来。
正是从1665年开始，牛顿着手在考虑如何把伽利略和丹普勒的定律联系起来。也正是这个时候，英国流行瘟疫。剑桥大学的学生都回家了。牛顿也回到了他的故乡乌尔斯托普。在家乡，他很自然地选取苹果落地作为自由落体运动的最直观的例子，他也很自然地想到苹果如果从更高的地方，甚至高到月球的位置是否也会掉下来？但是为什么月球并不掉到地上，却偏偏绕地球公转呢？于是归结为月球的运动是由两部分组成，即匀速直线惯性运动和朝地球方向的落体运动。正如水平抛掷一块石头一样，由于这两种运动的合成形成一个抛物线的轨迹，当水平速度达到一定的数值后，石块就可能绕地球作圆周运动。
这段轶事是牛顿同时代的传大作家伏尔泰在与牛顿的侄女交谈时了解到的。伏尔泰非常钦佩牛顿的天才，并积极宣传牛顿的科学原理。他作为作家和诗人的灵感，很及时地捕捉到最形象的描述，把“苹果”升华到一个新的境界，使人们留下难以磨灭的印象。正如在圣经中，我们也曾经让苹果的故事铭刻在心灵上一样，谁也不会忘记：亚当就是因为偷吃了苹果而触犯了上帝的意志。
一场有趣的辩论
俗话说：“事实胜于雄辩”，这话有一定的道理，但也存在着一定的片面性。尤其在物理学中，实验的验证与对规律的阐述，这两者是相辅相成的。况且有些物理规律通过实验有一定的困难，那就不得不借助于数学上的严密证明。比如对于天体的运动或者宇宙的年龄，作为人类有限的生命而言，很难用实验来证实。
伽利略不仅仅是物理学的先驱，而且也是一位雄辩家。在讨论自由落体运动这个问题时。就曾经有过一段精彩的对话。这段对话是伽利略在1638年发表的著作《关于两种薪科学的对话和数学证明》中摘录下来的。有两个威尼斯的贵族，一个名叫沙凯多，另一个名叫萨瓦蒂，与另外一个亚里士多德的门徒叫辛佩乔进行辩论。其中萨瓦蒂就是伽利略本人的影射。
萨瓦蒂：辛佩乔先生，请你告诉我：你是不是承认任何下落的物体都具备它的自然速率？
辛佩乔：是的，自然界赋予重的物体下落的速率大，轻的物体下落的速率小。
萨瓦蒂：好，如果我们把两个自然速率不同的物体连结在一起，那么速率慢的物体会阻碍速率快的物体，速率快的物体会拉着速率慢的物体。你同意吗？
辛佩乔：我看这个结论是完全正确的。
萨瓦蒂：如果这点是正确的，我们再进一步假设：一块大石头下落速率为8，一块小石头下落速率为4。那么，当两块石头连结在一起以后，它们合起来的速率一定大于4而小于8。
辛佩乔：这是自然的。
萨瓦蒂：但是这还没有说完。由于两块石头连结在一起以后必然要比大石块重，它们结合以后的下落速率也必然比大石块的速率要大，也就是合起来的速率应该大于8才对。你同意吗？
辛佩乔：我完全被弄糊涂了。
是的，亚里士多德的得意门生被弄糊涂了，因为伽利略从“重物比轻物下落得快”的假设出发，却得出了“重物比轻物下落得慢”的结论。也就是“以子之矛还子之盾”，因而使对方陷于自身的矛盾之中而无法招架。
这里的毛病主要出在前提有矛盾，一个前提是：重物下落得快；另一个前提是：重物受到阻碍会下落减慢。如果我们用数学表达式来看，就更清楚了：
大石块质量为M，速度为V1。小石块质量为m，速度为V2，那么根据第一个前提，两石块连结在一起质量为M+m，速度为V3，则有：
M+m>M>m
V3>V1>V2
但根据第二个前提，小石块对大石块有阻碍，所以结合后速度V。应介于原两个速度之间：
V1>V3>V2
于是出现了V3既大于V2，又小于V1最后只能否定原来的前提，从而通过反推，证明了任何物体下落的速度是一样的。
万有引力之谜
由“苹果落地的传说”，使牛顿的万有引力定律广为传播、家喻户晓。人们一边惊叹万有引力定律适用于整个宇宙而皆准，一边也把创立如此伟大定律的牛顿推崇为物理学界的泰斗。
尽管人们把“牛顿——苹果——万有引力”联系在一起，但是作为牛顿最杰出的贡献并不是万有引力定律，而是牛顿三定律。牛顿三定律揭示了力和运动的规律，它是经典力学的三根支柱。而万有引力定律只能说是牛顿三定律的一个补充，对于人世间力的产生作了一个注解。
实际上，牛顿对于自己所发现的万有引力定律，一直是抱着非常小心谨慎的态度。当牛顿利用万有引力的公式来计算地球的引力和太阳的引力时，他把计算结果在抽屉里搁置了整整15年而没有公开发表。原因是地球和太阳都是由很小的质点组成起来的球体，为什么这些小质点产生的引力，在宏观上可以看作为质量集中在质心所产生的引力呢？这两者是如何等价呢？要解释这个问题，必须用到三重积分。可是当时连微积分还不懂得。直到15年之后牛顿创立了微积分，他用三重积分圆满地解释了这个问题，他才将计算结果公诸于世。牛顿的万有引力定律才重见天日。
然而，万有引力定律本身还孕育着许多令人费解的问题，对于这点，连牛顿本人也不得不承认。比如，两个物体不管相距多远，都会产生万有引力。这个万有引力从一处传到另一处，居然不用花费时间。那么这种力是靠什么传递的呢？假如有的话，这个传递者一定要比光速不在以下，那么除了光子以外还会是什么呢？
另外，万有引力为什么与质量成正比？质量这个属性为什么会产生引力，而不产生斥力呢？整个字宙是对立统一的，如果只存在万有引力，而不存在“万有斥力”的话，宇宙终究会因吸引而坍缩下来，这怎么可能呢？
再有，万有引力为什么与距离的平方成反比？大家知道，光的辐照是与距离的平方成反比的，那是因为辐照出去的球面与半径的平方成正比，而单位面积上的辐照度自然与半径的平方成反比了。难道万有引力也是一种向外辐射的引力场吗？还有，为什么在宇宙中引力常数是恒定的？这个常数到底是宇宙中哪些基本因素决定的呢？
就是诸如此类的疑点，牛顿试图去解释，但终未如愿。因此，牛顿很谦虚地说：“到现在为止，我只是根据万有引力来说明天体现象和海潮现象。但是至今我还不能从这些现象中得出引力的根源。这些根源还是让别人去发现它吧！”牛顿最后说了一句颇具哲理的名言：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人肩上的缘故。”
确实如此，爱因斯坦是站在牛顿的肩膀上，而我们又是站在爱因斯坦的肩膀上，科学就是靠这种人梯而不断进步的。
重力加速度之谜
不知你有没有做过这样的试验：假如你在北京用磅秤称体重为60公斤，那么你带着这个磅秤到广州再称一次体重，你会发现轻了80克重。这是因为尽管你的质量是固定不变的，但是广州和北京的重力加速度不同，广州是9．788米／秒2，北京是9．80米／秒，你在两地受到的重力也就不一样大了。同时，由于用了同一个磅秤、它的弹簧秤的零点并没有改变，所以弹簧力可以客观反映重力的大小，于是重力的差别就反映了出来。
从上述例子，我们知道，在地球不同纬度的地方，重力加速度是不一样大的。一般来说，纬度越小，重力加速度越小；纬度越大，重力加速度越大。赤道的重力加速度最小，为9．780米／秒。，而北极的重力加速度最大，为9．832米／秒2。
重力加速度不但与地球的纬度有关，而且也与海拔高度有关。比如，在海平面的重力加速度与喜马拉雅山上的重力加速度是不同的，在高山上的重力加速度显然要小。
地球上有地球重力加速度，月球上有月球的重力加速度，土星、木星也各有它们自己的重力加速度。甚至太阳还有太阳的重力加速度。
那么，为什么重力加速度有如此千变万化呢？其实这点并不难理解。因为由万有引力的公式：
F=GM·mr2
其中G是引力常数，M代表地球（或其他星球）的质量，m代表物体的质量，r为这两者之间距离。显然重加速度g=GMr2，在这个表达式中，M随星球不同而异，r随纬度或海拔高度而变，于是形成了上述重力加速度的干变万化。
