金字塔和圆周率
古埃及建造的金字塔始终是人们神往而迷惑的地方。试想，在公元前五世纪这里就开始建造这样的庞然大物，就以胡夫大金字塔而言，它共有230万块巨石砌成，而每一块巨石平均为2．5吨重，大的巨石重达15吨。在茫茫的沙漠上，是用什么车辆来运输？是用什么工具来起吊？不要说别的，即使在当代，要建造这样一个金字塔，也并非轻而易举的事情。
胡夫大金字塔尤其神秘。它的高度为481．4英尺（相当于146．73米），它的塔底每边长为756英尺（相当于230．4米），塔底是呈正方形。于是，当我们用大金字塔塔底的周长除以其高度的两倍，结果正好等于圆周率的近似值3．14。算式如下：
33334×230.42×146.73=3.14
这是多么难得的巧合！
然而，它还有更多巧合地地方。比如，它的高度乘以27万倍，便近似于地球的周长；它的高度乘以10亿倍，正好等于地球到太阳之间的距离。于是2．7×105和109又体现宇宙中什么重要的规律呢？而金字塔的建造者们是认识了这种规律，还是不认识这种规律呢？
至于由金字塔引申出的“大西洲”的故事，那更是不可揣测的谜了。因为金字塔的建造没有文字记载，仅仅在《圣经》的《旧约》里，讲到希伯莱人沦为奴隶而逃出埃及，他们曾为建造金字塔而服过劳役。但《圣经》又怎可相信。于是从公元前四世纪柏拉图的记载，在现在的大西洋中曾有一个海岛，是古代发达的大帝国，即大西洲。金字塔就是他们所建。但后来遇到极大的自然灾害，地震和洪水同时袭来，把大西洲给淹没了，也淹没了一度鼎盛的文明。
有没有存在过“大西洲”？或许通过地理的勘测和地质年代的考古，会得出结论。但现在仍然是一个谜，或者连“谜”都不如，无人对它感兴趣。
珠算溯源
算盘可是中国的国宝，即使在今天进入电子计算机的时代，在商业和财会部门，由于应用大量的四则运算，算盘的运算速度仍然可以与电子计算机媲美。它的运算迅速、准确。
算盘算盘能流传至今，主要是它设计的合理和巧妙。据说古罗马也有过算盘，那是十二进位制的，用起来不方便，慢慢就淘汰了。古俄罗斯的算盘用的是一档十个珠子的，也不受欢迎。可是中国的算盘方便灵巧，不但在国内通用，而且流传到日本、朝鲜和东南亚。尤其是日本的小算盘做得非常精巧，简直像一件玩具。
算盘起源于哪个朝代？最早的一本珠算书是明万历年间程大位所著的《直指算法统宗》（大约是公元1592年）。那是一本很权威的书，风靡全国，凡学珠算的人都视若至宝，背诵其中的口诀，传诵书中有趣的算题。
但是，程大位只是集过去珠算之大成，归纳出这部系统性很强的著作。在他之前，在1578年，柯尚迁所著《数学通轨》中已记载有13档的算盘图，形状跟现在的一样。与此同时，在1573年，徐心鲁所校订的《盘珠算法》已初步介绍了珠算的算法。由此推断，早在15世纪初叶，算盘已广泛地在社会生活中应用了。甚至在1366年陶宗仪的《南村辍耕录》中还形象地用“算盘珠”拨一拨动一动，不拨不动，来形容奴婢的惰性。如果算盘还不普及，是绝不会有这种比喻的。
然而，“珠算”的名称却出现得更早。大约在公元2世纪，东汉徐岳所著的《数术记遗》中介绍了14种古代计算方法，其中13种是利用器具来算的，而这些器具中采用“珠子”的又有五种，这五种是：“太一算”、“两仪算”、“三才算”、“九宫算”和“珠算”。可见“珠算”的名称这时就有了。书中所介绍的算珠的结构，正是上面一颗相当于五个单位，下面四颗每颗相当于一个单位，完全具备了现代算盘的雏形。
算盘为什么上面一颗与下面几颗不同，代表五个单位，这是怎么想出来的呢？原来，算盘又是由筹算演变来的。而筹算的数字形式有纵式和横式，比如以纵式为例。1、2、3、4都是竖着摆，可是一过5，5就用横的一根筹来表示了。这就对应着在算盘中凡是一过5以后，就用上面的一颗算珠来表示。这说明筹算的数学体系与珠算的数学体系是一脉相传的。算盘也可认为是算筹的发展。那样说来，珠算的渊源更早了。
计算机溯源
一般认为，计算机都是外国传进来的洋玩艺儿。不然的话，为什么还有算盘和计算机比试高低的故事呢！其实，那是一个误会，计算机的老祖宗应该是在中国。
《易经》的“八卦”最早来源于《河图》和《洛书》。“八卦”就是用八种符号表示“坤、震、坎、兑、艮、离、巽、乾”八个卦，由八卦通过组合又可成为64卦。
如图所示，八卦的符号分别用8种不同的形式表示，这实际上是八进制的一种变形。而八进制与二进制有很大关系，八进制是建立在二进制的基础上的。假如“坤、震、坎、兑、艮、离、巽、乾”分别表示“零、一、二、三、四、五、六、七”8个数，那么用二进制表示，每逢2进1，就应该是“000、001、010、011、100、101、110、111”。八卦采用的符号正是符合这种情况，用两根短横表示“0”，用一根长横表示“1”，那么“坤”就是000，“震”就是001，以此类推，“巽”就是110，“乾”就是111。
电子计算机就是采用“通”和“不通”两种基本状态，转换到数学上就是二进制的原理。因此电子计算机要溯源的话，就应该追溯到《易经》的“八卦”，再往早追溯，那就是《河图》和《洛书》了。这种解答，恐怕外国人是不会很满意的。
八卦与数学
八卦是以阳爻（一）和阴爻（— —）为基础，构成“坤、震、坎、兑、艮、离、巽、乾”八卦。阴阳两爻又称为两仪，两仪生四象，四象生八卦。正如“画卦乘方图”所示：第二层两个“一”，生第三层中间的“二”；这个“二”加上左右两个“一”，变成“四”，称其为“四象”。第三层“一”和“二”生成第四层中间的“三”；两个“三”加上左右两个“一”，变成“八”，称其为八卦。以此类推。
上面这个图正好说明：（a+b）2=a2+2ab+b2，其系数为1、2、1的排列；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，其系数为1、3、3、1的排列。以此类推，表示了（a+6）n展开以后系数的排列形式。由此说明，八卦与代数中的多项式展开有密切关系。
如果我们把阳爻规定为正，阴爻规定为负，那么按照每一卦用三个爻来表示的特点，其正负排列就有（－，－，－），（－，－，＋）（－，＋，－），……等八种情况。
这八个卦正好符合三维空间中笛卡尔坐标系的八个“卦限”，这“八个卦限”正好与“八卦”相吻合；同样的，在二维空间中笛卡尔坐标系分为四个“象限”，这“四个象限”也正好与“四象”相吻合。由此看来，八卦与几何的关系也是相当密切的。
就现代数学中的“群论”而言，也有许多相同之处。根据八卦的性质，它具有阴阳反演变换的不变性，而且全部阴阳变换形成一个八阶对称群。这正好与“群论”一一对应。“群论”对现代科学的研究很有用处，如许多学科中都应用了矩阵的计算。
综上所述，八卦之所以能预示着从古代数学到现代数学的一些基本原理，只能说明它的思维是正确的，符合自然界的内在规律。“万变不离其宗”，正说明我国古代劳动人民正是掌握了这个“宗”，因而它的“思想体系”经久不衰，而且与现代科学相合拍。然而，八卦的内在含义，八卦更新的启示，这些不是还有待于我们更好地去探索吗？
八卦与天文
人们或许听说过这样两个故事：
天王文1776年，德国天文学家波德总结出一个经验公式，可以计算出行星到太阳的平均距离。由此推算出在距太阳19个天文单位附近应该有一颗新的行星。果然，不久以后，在1781年，英国天文学家赫歇耳发现了这颗新星，并命名为天王星。
赫歇耳在发现天王星以后，对于天王星的运行轨道作了详细的研究，觉得实际观察到的轨道与运用力学原理和微积分的办法计算得到的轨道不相符合，由此预言：在天王星外面还可能有一颗新的行星。此后，经过了亚当斯、勒威耶等人运用微积分计算，精确地算出了新星的轨道数据。终于在1846年发现了海王星。运用同样的原理，1930年又发现了冥王星。
这两个故事说明，运用大量数据形成的经验公式，或运用先进的数学工具微积分，可以预示出新的行星的存在。
然而，有这么一个中国小伙子，居然运用中国古老的《易经》和“八卦”预测出太阳系第十颗行星。他就是50多年前在法国留学的中国留学生刘子华，他通过八卦图上太阳系各星体与卦位存在的对应关系，再根据已知的天文参数进行计算，证明了每一对偶卦所属的星体的平均轨道速度和密度都是一个不变的常数。从而预测到必定有一颗新的行星，其平均轨道速度为2公里／秒，密度为0．424克／厘米3，而离太阳的平均距离为49．5天文单位（合74亿公里）。1940年11月18日，他的博士论文《八卦宇宙论与现代天文——一颗新星球的预测》在巴黎通过答辩，刘子华被授予法国国家博士学位。这颗星被命名为“木王星”。
诺贝尔奖金获得者、著名华裔物理学家李政道博士曾谆谆教诲中国的青少年要知道《易经》和“八卦”，并说：“《易经》是中国古代重要的科学著作。”这说明《易经》和“八卦”将有助于我们去进一步探索宇宙。
“化圆为方”行不行
这是三大几何难题之一。它的意思是：利用圆规和直尺把一个已知圆变成一个等面积的正方形。这就好比是食品厂原来制作圆形的生日蛋糕，现在为了节约包装盒并且运输方便，改成方形蛋糕，但是蛋糕的分量一点不少，如何用纯几何的方法求方蛋糕的边长？
据说，这个问题是古希腊的学者安拉克萨哥拉（约公元前五世纪）在监狱中冥思苦想的问题。
看起来是很简单的问题，这也就使许许多多的数学爱好者跃跃欲试，企盼着解此难题而一鸣惊人。
世上不乏高手，就有这么一位学者提出了一种解答方法，是这样的：
在已知O圆上，过圆心O作一个与直径AB成30°的角，交OB的切线MN于C点。这是可以通过圆规、直尺实现的。然后，以C为端点，用圆规截圆半径的长度，截3次，使CD=3r，其中r为O圆的半径。这时根据勾股定理，可求得AD的长度为：
AD=40-633r≈πr
接下来，在AD的延长线上截DG=r，再以AG为直径作一半圆。由D点作AG的垂线DH．交半圆的圆周于H这时可以求得DH2=AD·DG=πr·r=πr2，所以DH=πr。由此用DH作为正方形的边长，正方形的面积正好为πr2，等于已知圆的面积。
看来，“化圆为方”的问题已经解决了。但是，细细推敲，毛病出在AD的长度是不是等于πr，实际上AD的长度所求出的π是近似值，单凭这一点，就没有符合原题的要求。尽管这种近似作图在现实生活中还有实用价值，甚至生日蛋糕也可用这种办法来变换。但是从理论上、从严密的逻辑推理上仍然没有解决。这是为什么？主要是圆的面积与π有关，而π是一个超越数，无法用代数或几何的方法求得。也许等到超越数被我们更了解的时候，这个问题会有新的进展。
“立方倍积”会不会
三大几何难题的第二个问题就是“立方倍积”问题。它要求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，当然也只是限于用圆规、直尺来作图。
人们往往有一种推理的思维方法。比如，一个正方形，以它的对角线为边作一个新的正方形，这个正方形的面积为原来正方形面积的两倍，也就是说“平方倍积”问题是很容易解答的。
是否可以作一推广，立方体的对角线作为边长，作一个新的立方体，其体积为原来的2倍呢？我们知道，根据两次勾股定理的应用，可求得立方体的对角线长度为a，如果以3a作边长得到的立方体，其体积为（3）3a3，并不等于原立方体的2倍，而是等于（3）3。倍。因此这种推论是错误的。
这个问题延续了2000多年，不少人兴致勃勃地去钻研，但灰心丧气地而告终，这已经证明是无法实现的。
与此有关联的问题是：勾股定理仅仅是在平方关系上成立，也就是对于面积而言形成一种非常巧妙的规律。但是勾股定理并不能扩展到3维（或3次幂）关系上去，因此，解决体积之间的关系就比较困难了。
同样的道理，我们在以后还要讲到“费马定理”，它指出：当n>2时，不存在正整数x、y、z，使满足关系式xn+yn=zn。例如我们设n=3，也就是x3+y3=z3，是不可能有三个正整数x、y、z的。由这个结论我们可以知道：不但要把一个立方体的体积加大一倍是非常困难，就是两个边长为正整数的立方体，也永远找不到一个边长也可用正整数表示的立方体，而它的体积为前两个立方体体积之和。
“三等分角”能不能
剩下第三个几何难题，就是“三等分角”的问题了。把一个角平分，或4等分都很容易做到，惟独把一个角三等分却很难。
不知道有多少人绞尽脑汁、费尽精力企图三等分角，他们往往得意忘形地高呼：“我已解决三等分角的难题了。”可是他们的解答都经不起仔细的推敲。不信？这里就举两个例子：
例一是要三等分一个已知角∠MON。我们以O为圆心，以任意长度a为半径作一个半圆。交角的两边为A、B两点，此半圆的直径在NO的延长线上。取一把直尺为CD（并无刻度），用圆规将a长在直尺上截取CE=a。用该直尺在刚才画好的半圆上比划，使c点保持在NO的延长线上，E点保持在圆周上，使直尺的某一点通过A点，这时直尺CD的位置就已经确定了，过。作CD的平行线，使OF∥CD，那么AFOB三等分∠AOB，即∠FOB=13∠MON。
证明是很简单的：因为EC=OE，所以∠1=∠2；OE与OA均为半径，所以∠3=∠4；∠3是△CEO的外角，所以∠3=∠1+∠2=2∠1；由于OF∥CD，∠5=∠4，∠1=∠6，所以∠5=2∠6，由此证明了∠FOB三等分∠MON。
例二是取一个直角尺BCF，然后以DC的延长线为直径的位置，以CD长为半径，作一个半圆，其圆心为B。如果我们要三等分一个角∠MON，可以使角的顶点O在CF上移动，角的一边OM与半圆相切，角的另一边ON通过D点，假设OM与半圆相切于E点。那么∠COD为三等分∠MON。
证明同样是很简单：由于OE和OC均为切线，所以△OEB≌△OCB，故∠1=∠2；由于BC=CD，△OBD为等腰三角形，OC为高，所以∠2=∠3，于是∠COD=13∠MON。
这两种解答都是不严格的。例一中预先在直尺上记了一点E，使直尺实际上具备了刻度的功能。例二中用直角尺一边CD为基准，也是无形中违反儿何作图中直尺的规定。因此，看上去像是解决了这个难题，实际上依然没有解决。三大几何难题经过许多数学家的努力，终于在1895年，德国数学家克莱因已经证明了是无法用圆规和直尺来完成的，因此后人也不必再去白费精力了。
猜了一个多世纪的“四色问题”
