1935年左右，法国著名数学家阿达玛和美国著名数学家维纳，应清华大学的邀请，来校作交流讲学。两位当代著名学者的讲学，在清华引起强烈反响，给学校的学术空气带来了一股强劲的东风。两位学者讲述了当代数学研究的最新成果，令清华的数学家们大开眼界。华罗庚知道这是向名家请教的最好机会，每次都是早早进课堂，选择最前面的位置坐好，全神贯注地听讲，记笔记。这个着装简朴、稳重沉思的年轻人，引起了两位学者的注意。当他们向熊庆来提起这个年轻人时，他们才知道这是发表过多篇有价值论文的华罗庚。当他们进一步从熊庆来那里得知华罗庚的身世和奋斗经历以后，他们深深地为这个年轻人的勤奋好学所感动。
听完两位学者的讲座之后，华罗庚向熊庆来主任请示，是否可以找两位学者请教一些问题。熊庆来非常理解华罗庚求知的迫切心情，当即把华罗庚的请求转达给阿达玛和维纳，两位学者当然欣然允诺。于是，华罗庚就有机会经常到两位学者下榻的宾馆去探讨问题。华罗庚虚心诚恳的态度，感动了两位学者，他提出的问题，极大地震动了两位学者。终于使这两位学者在主观上以平等的态度和华罗庚讨论研究课题了。
华罗庚在与两位学者的讨论中获益匪浅。阿达玛向华罗庚指出：维诺格拉多夫对“华林问题”的研究非常出色，是这个问题研究的主要方向。从此华罗庚进入了研究“堆垒素数论”的主流。在以后的相当长的时间里，华罗庚的研究受到维诺格拉多夫的影响，因而走上了正轨，进展非常快。华罗庚在维纳那里学到大量傅里叶分析的知识和技能，这为他从事数论研究打下了坚实的基础。在和两位学者相处的过程中，华罗庚和他们结下了深厚的友谊，并在国际数学界初步确立了自己的位置。两位学者也因为清华出了个华罗庚，而对中国这个古老东方大国的文化传统和研究水平有了新的理解和认识。他们回国以后还常常对朋友和同行们说：中国有个华罗庚！
1936年，始终没有忘记华罗庚的维纳，给英国剑桥大学的著名数学家哈代写一封信，把华罗庚推荐给哈代。信上称赞华罗庚是中国的拉马努金，希望能够在可能的情况下，接纳华罗庚到剑桥大学深造。拉马努金是印度的著名学者，是一位自学成才的天才数学家，他的一生最富有传奇色彩，数学研究成就卓著，在国际上名声很大。维纳把华罗庚和拉马努金相提并论，足见他对华罗庚的器重与欣赏。于是，哈代致信叶企荪和熊庆来，诚恳地表达了可以接纳华罗庚到剑桥大学深造的意向。有了剑桥的邀请，当然是求之不得的。华罗庚得到了中华文化教育董事会的每年1200美元的乙种补助，以访问学者的身份去英国剑桥大学进修。
1936年，华罗庚离开祖国，越过英吉利海峡，到剑桥留学。旅途漫长，行程坎坷，第一次出国的华罗庚，幸而有一位学识高超的同行者，那就是著名物理学家周培源教授。
清华大学是留美的预备学校。自1910年建校以来，有许多高材生纷纷到美国留学去了。华罗庚之所以愿意接受赴英深造的推荐，是因为30年代的剑桥大学，是数学精华荟萃的地方。5年前，华罗庚来到清华，开始接近中国数学中心。5年后，年仅二十五岁的他，又走向世界性的数学中心，以求尽览世界数学峰峦的风光景色。
1110年创立的剑桥大学，以历史悠久、人才出类拔萃而闻名世界。牛顿、吉林威尔等世界著名的为人类做出巨大贡献的伟大科学家，就是出自这个学府，当华罗庚来到剑桥的时候，数学大师哈代已离英赴美，但他在临走前，交代他的继任者、大数学家哈依布勒，要另眼看待来自中国的青年学者华罗庚，为他取得博士学位创造条件。哈依布勒遵照哈代的交代，热情地接待了华罗庚。当然，哈依布勒看到华罗庚没有丝毫特别之处，并且还是个跛脚残疾人，出于对东方人的传统观念上的轻视，曾经产生了一丝看不起的想法。但是，他又转念想到，既然哈代都这样特殊关照，想必此人并非等闲之辈。所以开门见山地对华罗庚说：“华先生，您选择哪一门课程？如果您想在两年之内获得博士学位，我们愿意帮助。但您需要办理正式入学手续，全面完成博士学位的课程。”接着，哈依布勒从抽屉里拿出早为华罗庚准备好的进修课程内容和进度表。原来，剑桥大学的章程规定，取得剑桥博士学位，必须是正式学员，并且至少需要学习三年时间，完成规定的各门课程。可以破格为华罗庚办理入学手续，可以在两年之内让华罗庚成为剑桥博士，这应该是极大的优待，是一般人无法争取得到的。
华罗庚看着那几页表格，完全出乎他的意料。来剑桥进修的第一个命题，居然不是数学，而是与数学关系不是很大的一个极为特殊的问题。要学问还是要博士学位？持有通常观念的留学生，当然要学问，也要学位。有的人甚至宁肯不要学问，也要挖空心思地弄一个学衔，为自己镀金。因为，令人羡慕的剑桥博士学位的价值是无法估量的。当时不仅是知识学问的标志，而且是金饭碗。回国当教授，做大官，它都是不可缺少的招牌。可是，为了取得博士学位，往往不能自由地进入广博的学术领域，只能为完成学位论文而束缚在一二门普通学科里。华罗庚在学问和学位的取舍上进行了激烈的思想斗争。他想：到剑桥深造这个难得的机会，应该使自己在数学研究上取得更大的进展，时间短暂，时不我待。如果按博士学位的要求去做，那么自己的数学研究不仅不会有所进展，反而还会停滞不前。学如逆水行舟，不进则退，好不容易奋斗到了研究的前沿，到了剑桥，再被同行落下，岂不前功尽弃。想到这里，他的倔劲又上来了，要学问，不要学位，虽然博士学位是唾手可得的东西。华罗庚彬彬有礼地回答道：“尊敬的先生，非常感谢您的关照。我来剑桥是为了求学问，继续我的数论研究，不容丝毫懈怠和分散精力。至于学位，这不是我的目的，我宁肯放弃它。我只想做一个数学访问学者。”哈依布勒用惊异的眼光打量着这个身残志不残的中国小伙子，似乎难以理解。然而华罗庚诚恳的愿望，朴素的语言，还是深深地打动了这个正统的英国人：“非常欢迎您！我们剑桥第一位这样的访问学者！”
华罗庚在剑桥城内租了一个房间简陋、租金低廉的房子住了下来。房东是一家工厂的工人，女主人50多岁，是一位善良而勤俭的家庭主妇。华罗庚搬进来的时候，女主人极为热情地接待了他，并同他聊起家常话。问道：“华先生，你从哪里来？”
“我是中国人。”
“您是哪一个名牌大学毕业的？”
“我没有上过大学是一个中学毕业生，只念了九年书！并当过店铺的学徒。”
女主人听后非常纳闷，那样贫困落后的中国，怎么会派一个学徒到剑桥大学来学习呢？她不明白这到底回事。
她从前的房客，有德国的、法国的、印度的，来自中国的还是第一个，而且是一个学徒，自然引起了她的注意。时间一长，她发现这个东方人衣着简朴，待人礼貌，很少睡觉，甚至通宵不眠。他的手总是不离课本，桌子上总是摆放着成堆的演算草纸，就连床上，地板上有时也散堆放着零乱的纸张。她直观地感觉到，这个中国人和别的国家的人不一样，太诚实，太用功了！因此，对华罗庚颇有好感，时常帮助和照顾他。华罗庚一旦回到他的住处，就轻易不出门，为了缓解一下塞满问号大脑的疲劳，才去游览一下剑桥的名胜古迹，倾听古老的教学钟声。
一个仲夏的夜晚，房东夫妇从伦敦回来，他们刚刚看完一场世界性的田径比赛。
“华先生，这场比赛太激烈，太精彩了！”女主人笑容可掬地对华罗庚说。
“噢”，埋头看书的华罗庚，微一抬头，索然无味地顺口答应。
“华先生，我没看到有中国人参加比赛，贵国派代表队了吗？”男主人关切地问。
“没有”，华罗庚又只是抬了一下头。
“您看，英国的、美国的，还有俄国的、德国的国旗都升起来过。你们中国也应该有优秀的运动员，为国争光嘛！”老工人大发感慨地说。
为国争光！竟出自一个英国普通工人之口，这是他对中国人的期望啊！在国际运动场上，中国人一时没有优胜者，在数学竞赛上，不能闯上前去，为国争光吗？华罗庚这才放下他手中的书本，站了起来，微笑着很有礼貌地向这位老人表示谢意。
华罗庚受到了启发，暗暗憋足了劲。要长中国人的志气，要为中国人争光。如今，在华罗庚面前，横亘的是西方数学家们已经创造的崇山峻岭，他望而不畏，毫不怯步，雄心勃勃地开始向高峰挺进。华罗庚争取一切可能，听取各种数学专题的课程，抄写尚未开课的讲义，博采世界诸家的成果，撰写具有新观点的论文。他善于抓住别人成果中的核心，掌握20世纪数论研究的所有尖端观点。他稳扎稳打，致力于开阔自己的视野和提高自己的水平。
作为一个访问学者，是比较自由的。可以自由支配自己的时间，也可以自由地安排自己的研究活动，因为他没有要取得博士头衔的约束和负担。在剑桥，华罗庚研究的主攻方向仍然是数论。华罗庚参加了一个有名的数论学家的小组。这个小组包括英国著名数学达凡波特、哈代、李特尔伍德，法国著名数学家埃斯特曼和海尔勃洛恩。华罗庚在这个小组里，是唯一的东方人，年龄最小，资历最浅。可以说，这个小组集中了剑桥的数学精英，确定了世界数学的尖端课题，共同展开研究讨论。华罗庚同他们互相切磋，从他们那里得到不少帮助，数论研究飞速进展。
华罗庚此时的学术研究，主要是“堆垒素数论”。“堆垒素数论”涉及把整数分解成某些别的整数的和。“华林问题”、“他利问题”、“哥德巴赫问题”等都是这个学科中的著名问题。特别是对于高深的“华林问题”，华罗庚投入了大量精力，进行了深入研究。“华林问题”是由1770年英国数学家华林提出的命题。这一奥妙的命题提出以后，世界上许多数学家都在不断地进行探索和研究。20世纪初，大数学家希尔伯特走上第一个阶梯，20年代，哈代帮李特尔伍德登上了另一高阶，现在，华罗庚一跃而上，占领了新的制高点。他的研究成果将他欧洲同事的工作包罗殆尽，推导出了完整确切的定理，把“华林问题”的研究又推向了一个新阶段，得到世界数学界的认可和推崇。因此，这一定理被世界数学界用华罗庚的姓氏命名，叫做“华氏定理”。
当时，大数学家哈代已经完成了有关数论的巨著《数论导引》。他看了华罗庚在“华林问题”上研究得出的“华氏定理”不得不重新审定他的书稿。因为华罗庚的定理，不仅有新的发现，而且纠正和充实了哈代的研究成果。哈代兴高采烈地对他的同事们说：“好啊！我的著作又得修改了！”
与此同时，华罗庚还致力于解析数论，特别是“圆法与三角和估计”的研究。他的工作能力有了实质性的提高。关于完整“三角和估计”及“仆罗黑问题”的研究都取得了突破性的进展。他的著名论文《论高斯的完整三角和估计问题》，经过半个多世纪的考验，已成为众所周知的经典文献。
华罗庚在剑桥大学的两年中，就“华林问题”、“他利问题”、“奇数的哥德巴赫问题”、“完整三角和估计问题”、“仆罗黑问题”，总共写了18篇论文，先后发表在英国、苏联、印度、法国，德国的权威数学科学杂志上。其中就包括那篇著名的经典之作《论高斯的完整三角和估计问题》。这些论文，对当时数学领域的一些多少年来悬而未解的难题，连连破关，节节制胜。许多权威数学家，看了华罗庚这些不仅堪与博士论文媲美，而且有的大大超过博士论文水平的大作，十分震惊，公认华罗庚的研究成果，在当时处于不容争议的领先地位。剑桥大学的数学家们则惊叹地说：“这是剑桥的光荣。”
华罗庚的成就，已经远远超过了每一条学院式的要求，但由于他在剑桥大学从未正式入学，因而没有得到博士学位。许多数学家为华罗庚惋惜，也有的为华罗庚鸣不平，甚至还有少数人认为华罗庚傻。当听到这些议论的时候，华罗庚总是坦然处之，不为所动，不去争什么学位。在他的大脑里，真才实学最重要，学位的概念是次要的。由此，华罗庚更加得到了剑桥资深数学前辈的大力赞赏。几位老前辈不仅为华罗庚高兴，而且为华罗庚的高尚品德和求实精神所感动，确信认定这个20多岁的中国人前途无量，必将成为世界数学界的一位勇敢的旗手。
华罗庚在剑桥大学始终作为一个访问学者，虽然他没有得到令人羡慕的博士学位，但他学到了知识，出了成果，为祖国争得了荣誉。这个学徒出身、自学成才的东方访问者。以其不可阻挡的攻势，异军突起，加入了世界数论的先进行列。在剑桥人的眼里，华罗庚不再是土里土气，一瘸一拐的滑稽小丑，而是令人崇拜的“东方巨人”了。
