◆初等数论的新发展
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布，以及数论函数等内容，统称初等数论。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里德证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓“欧几里德算法”。我国古代在数论方面亦有杰出贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王。”可见高斯对数论的高度评价。
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开辟了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时促进了数论的发展。
◆现代科技发展的基石——微积分学
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引人了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学方法来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
德国的莱布尼茨是一个博学多才的学者。1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，菜布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。微积分是与应用数学联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程是为了从万有引力定律导出开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
◆20世纪的横断性学科——控制论
控制论是研究各类系统的调节和控制规律的科学。它是自动控制、通讯技术、计算机科学、数理逻辑、神经生理学、统计力学、行为科学等多种科学技术相互渗透形成的一门横断性学科。它研究生物体和机器以及各种不同基质系统的通讯和控制的过程，探讨它们共同具有的信息交换、反馈调节、自组织、自适应的原理和改善系统行为、使系统稳定运行的机制，从而形成了一大套适用于各门科学的概念、模型、原理和方法。1948年维纳的《控制论》出版，宣告了这门科学的诞生。维纳在他的《控制论》一书的副标题上标明，控制论是“关于在动物和机器中控制和通讯的科学”。
控制论的研究表明，无论自动机器，还是神经系统、生命系统，以至经济系统、社会系统，都可以看作是一个自动控制系统。整个控制过程就是一个信息流通的过程，控制就是通过信息的传输、变换、加工、处理来实现的。
控制论得到广泛应用的第一个时期为20世纪50年代，是经典控制论时期。这个时期的代表著作有我国著名科学家钱学森1945年在美国发表的《工程控制论》。第二个时期是60年代的现代控制论时期。导弹系统、人造恒星、生物系统研究的发展，使控制论的重点从单变量控制到多变量控制，从自动调节向最优控制，由线性系统向非线性系统转变。第三时期是20世纪70年代后的大系统理论时期。控制论由工程控制论、生物控制论向经济控制论、社会控制论发展。控制论具有十分重要的理论意义和实践意义，它体现了现代科学整体化发展趋势，为现代科学技术提供了新的思路和科学方法。
◆几何学的新分支拓扑学
几何拓扑学是19世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在18世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占有重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展的重要问题。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支：一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学；另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在，这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。
◆数学应用中诞生的运筹学
第二次世界大战以来，由于技术和工业的迅速发展，带动了数学向应用方向的发展。运筹学的诞生是这方面最突出的例子，它包括以下四个主要分支：
对策论：1944年冯·诺伊曼和摩根斯特恩合著的《对策论与经济行为》奠定了现代对策论的基础，把对策研究从古代的军事政治领域扩大到了社会经济生活领域。
规划论：它主要研究计划和管理工作中的安排与估值问题，用数学语言描述便是：研究某一目标函数在一定约束条件下的最大值和最小值问通俗的例子是：要去某地时，考虑有几条路可走，走哪一条最快最省力。它的内容包括线性规划、非线性规划、动态规划等。前苏联的康特洛维奇1939年出版的《生产组织与计划中的数学方法》是这方面的早期著作。20世纪50年代以来西方出版了许多规划论著作。
排队论：它的目的是解决“怎样才能使服务系统的效率最高”的问题。1908年丹麦人爱尔朗出版的《排队论在丹麦电话系统中的使用》是这方面最早的著作。随着20世纪服务性行业的发展，排队论的研究和应用都有了新的进步。
最优化方法：F·约翰1948年发表的《以不等式作附加条件的极值问题》一文是这方面最早的文献。最优化方法也就是寻找最好的方式，以达到最优的选择或目标。1953年，美国人基弗提出优选法中的“0.618法”。我国数学家华罗庚(1911～1981)推动了优选法在工农业生产方面的应用。
◆20世纪后期诞生的突变论
突变论是法国人托姆(生于1923年)于1968～1972年间创立的一种新的数学学科。英国的齐曼、前苏联的阿诺尔德等人都先后发表了一些突变论内容的文章。这些最早从事突变论研究的人原先都从事拓扑学研究。传统的数学分析主要着眼于连续函数，对发散和间断的函数曲线无能为力。突变论试图对系统的不连续过程和状态跳迁进行数学分析。
突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会“哗啦”一声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现；而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球到达新洼地底处，又开始新的稳定。所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。
托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。
◆传统数学的补充——模糊数学
模糊数学方面最早的文献是美国加州大学札德于1965年发表的《模糊集合》一文，这是一个崭新的概念。传统的数学是精确的科学，所处理的是概率等于1的值或事件。模糊数学处理的值是一个连续的量，概率在1和0之间(最浅显的例子是仅仅根据人的声音来判断这个人是谁)。从某种意义上讲，模糊数学衬托出了传统数学的局限性，界定了传统数学的范围，提出了全新的数学概念，突破了原有的数学领域。目前模糊数学在模式识别中已有了成功的应用。
著名数学奖
◆菲尔兹数学奖
一年一度令世人瞩目的诺贝尔奖中，只设有物理、化学、生物或医学、文学、和平事业五个类别(1968年又增设了经济学奖)，竟然没有数学这个科学之“王”的份额，使得数学这个重要学科失去了在世界上评价其重大成就和表彰其卓越人物的机会。
正是在这种背景下，世界上先后树起了两个国际性的数学大奖：一个是国际数学家联合会主持评定的、每四年召开一次的国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖；另一个是由沃尔夫基金会设立的一年一度的沃尔夫数学奖。这两个数学大奖的权威性、国际性，以及所享有的荣誉都不亚于诺贝尔奖，因此被世人誉为“数学中的诺贝尔奖”。
菲尔兹为设立国际数学奖积极奔走于欧美各国，谋求广泛支持。菲尔兹强烈地主张数学发展应是国际性的，他全力筹备并主持了1924年在多伦多召开的国际数学家大会。当他得知大会经费有结余时，就萌发了设立一个国际数学奖的念头。菲尔兹在去世前立下遗嘱，把自己的遗产加到上述剩余经费中，由多伦多大学转交给第九次国际数学家大会。大会一致同意将该奖命名为菲尔兹奖。
第一次菲尔兹奖颁发于1936年，当时并没有在全世界引起多大注意，然而30年以后的情况就完全不一样了，从国际上权威性的数学杂志到一般性的数学刊物，都争相报道获奖人物。菲尔兹奖的声誉不断提高，终于被人们确认。菲尔兹奖的最大特点是奖励40岁以下的年轻人，即奖励那些能对未来数学发展起重大作用的人。
◆沃尔夫数学奖
R·沃尔夫于1887年生于德国，父亲是汉诺威城的五金商人。沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，后移居古巴。他用了近20年的时间，经过大量实验，历尽艰辛，成功地发明了一种从熔炼废渣中回收铁的方法，从而成为百万富翁。他是沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人。沃尔夫于1981年逝世。
由于菲尔兹奖只授予40岁以下的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧1976年1月，R·沃尔夫及其家族捐献1000万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学、艺术的发展。沃尔夫基金会设有数学、物理、化学、医学和农业五个奖(1981年又增设艺术奖)。1978年开始颁发。通常是每年颁发一次，每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。
由于沃尔夫数学奖具有终身成就奖的性质，所有获得该奖项的数学家都是享誉数坛、闻名遐迩的当代数学大师，他们的成就在相当程度上代表了当代数学的水平和进展。该奖的评奖标准不是单项成就而是终身贡献。获奖的数学大师不仅在某个数学分支上有极深的造诣和卓越贡献，而且都博学多能，涉足多个分支，且均有建树，形成了自己的著名学派。他们是当代不同凡响的数学家。
◆华罗庚数学奖
华罗庚像1992年11月4日，我国首届“华罗庚数学奖”在北京颁奖。为了纪念世界著名数学家华罗庚对我国数学事业的杰出贡献，促进我国数学的发展，由湖南教育出版社捐资，与中国数学学会共同主办设立“华罗庚数学奖”，以奖励和鼓励对我国数学事业的发展做出突出贡献的中国数学家，每两年评奖一次。遵照华罗庚数学奖奖励条例，该奖主要奖励我国数学家长期以来对发展我国的数学事业做出的杰出贡献，获奖人年龄在50～70岁之间。获得这一奖励的数学家都具备较高的学术水平，引起了国内外数学界的瞩目，在促进我国数学研究中起到了积极作用。
1959年，罗马尼亚“数学物理学会”向东欧七国发出邀请，倡议在同年7月22～30日在其首都布加勒斯特举办一次“国际数学奥林匹克竞赛”。这是世界上最早的国际性的数学竞赛。从此以后，“国际数学奥林匹克竞赛”每年举行一次。开始时参加国仅限于东欧，1967年以后参赛国逐渐增多。
◆数学奥运会——国际数学奥林匹克竞赛
1959年，罗马尼亚“数学物理学会”向东欧七国发出邀请，倡议在同年7月22～日在首都布加勒斯特举办一次“国际数学奥林匹克竞赛”。这是世界上最早的国际性的数学竞赛。从此以后，“现在，这是国际上影响最大、水平最高的中学生数学大赛。它是各国进行科学交流的良好场所，也是了解世界数学中等教育水平的窗口。目的是为了引导青少年提高独立思考、分析归纳和灵活运用基础知识的能力。国际数学奥林匹克竞赛的参赛试题，原则上由各参赛国提供。竞赛一般在每年的7月份举行，由各国轮流主办。1985年，中国选手首次参加，以后每届比赛都少不了中国选手。
