◆高等代数的基础
方程论从最简单的一元一次方程开始，一方面向未知数的个数即方程的“元”发展，构成了n元一次方程组，从而产生了“行列式”和“矩阵”等概念，形成了线性方程组理论，奠定了“线性代数”的基础。另一方面向未单叶双曲面知数的次数发展，构成了一元n次方程，从而形成了“多项式代数”理论。这两部分构成了今天“高等代数”课程的基本内容。代数研究的内容发展成“解方程的理论”。与此同时，方程组的解法问题、解析几何中与高次代数流形问题相关联的内容、行列式与矩阵理论、二次型与线形变换理论、不变量理论等等也发展起来了。19世纪后半叶，不变量理论成了代数研究的中心。
◆群论的诞生
自从三次方程和四次方程的求解问题解决后，五次方程又成了人们研究的重要课题。拉格朗日曾经证明五次方程的预解式是六次方程。1824年，挪威的阿贝尔用极巧妙的方法成功地证明了一般五次以上方程不能用根式求解。
为了寻求五项和五项以上方程的解法，巴黎科学院曾设立一项奖金。1829年，一个17岁的法国中学生伽罗华解决了这一数学难题。由于柯西的不重视而将伽罗华的论文遗失了。1832年，伽罗华在一次决斗中结束了自己年轻的生命。14年后，经过数学家刘维尔的发现和推荐，伽罗华的成就才被人们所认识。伽罗华的杰出贡献在于发现了一般方程根式求解的充要条件。对于一般n次方程都可以找到一个置换群的一部分与之对应，从而进一步找到了一般n次方程根式求解的充要条件是：号码1、2、3…n的排列群满足某些确定条件。1870年，法国数学家约当根据伽罗华的成就写出了他的论著《置换与代数方程教程》，标志着“群论”正式诞生。
◆近世代数理论的形成
19世纪后半叶，因为力学、物理学以及数学自身的发展，代数处理的对象越来越多地涉及到矩阵、旋量、超复数等用字母表示的量，这些对象需要加减，甚至乘除运算，然而不同的量有不同的运算规则。于是从群论观点出发，内容丰富的抽象代数理论出现了，形成了诸如“域论”、“环论”、“群论”、“格论”(结构论)等新的数学分支，以及在此基础上概括出来的关于代数体系一般理论的“泛代数论”。另一方面，抽象代数又与数学其他分支结合，开拓出如“拓扑代数”、“微分代数”、“几何代数”和“序代数结合理论”等等一大批边缘学科。这些理论在一些新兴学科中得到了应用。
由于各种代数系统和分支理论的形成，大大扩展了代数领域。代数所研究的内容经过从“字母运算学”、“解方程理论”到“用字母表示的代数系统的运算学”三个发展过程，形成了高度抽象的近世代数理论。
