由“悖论”这一“怪圈”引出“危机”，探究克服“危机”完善了三大数学流派，摧毁这些流派的幻想出现哥德尔不完备定理，导致至今尚未完结的探索，这是发生在数学领域里近一个世纪的事。那么，这种“怪圈”仅仅在数学领域内才有吗？
不是，这种“怪圈”普遍存在，在美术和音乐及其他领域都存在这种现象。
1979年，美国数学家道格拉斯·霍夫斯塔特写了一本名为《GEB——一条永恒的金带》的书。书名和内容一样使人好奇，在美国轰动一时，曾获普利策大奖。普利策奖是赴美匈牙利人普利策（1847～1911）创立的，以这位办报人命名的奖虽然每份只有1000美元奖金，但却是新闻界的最高奖赏。上述书名中的“G”指数学家哥德尔（Godel），“E”指画家默里斯·戈罗奈里维斯·埃舍尔（Escher），“B”则指“音乐之父”巴赫（Bach）。
那为什么霍夫斯塔特会把数学家、画家、音乐家绑在一起而使书名中有“GEB”呢？
该书认为，人的思维存在一个“怪圈”，这个“怪圈”会使人的思维在前进过程中不自觉地回到起点上去。正好我们前面谈到的哥德尔不完备定理，这个定理使我们面临二择一的两难境地：
要么在逻辑思维中可以是不一致的；要么导致另一个结果，使我们无法用逻辑去证明所有看来是用逻辑提出的问题，这就是不可判定性。哥德尔不完备定理就是指出了数学中的这种“怪圈”。
1961年，埃舍尔画了一幅版画，名为《瀑布》。在画的中部，瀑布倾泻而下，水花溅起，水再经过水槽向下流去，经过三个直角曲折，却流向瀑布口！这真是不可思议：
水究竟是往上流，还是往下流？可是在画面上却表现得明明白白。水也像人的思维一样，回到了起点。这就是美术的“怪圈”。
“卡农”是英文canon的音译，是复调音乐写作技法。巴赫曾用卡农技法写成了举世闻名的主题乐曲《音乐的奉献》，并把它献给他当时崇拜的国王——弗里德里希。这首乐曲的奥妙之一在于，它神不知鬼不觉地进行变调，使结尾最后又平滑地过渡到开头。这种首尾相接的变调使听众有一种不断增调的感觉。在转了几圈之后，听众已感到离开原调很远。但奇妙的是，通过这样的变调却又回到原来的调上！这就是音乐中“怪圈”的实例。对此，有人将其称之为“无限升高的卡农”。
此外，英国数学家图灵（1912～1954）在计算机理论中指出，即使可以设想的最有效的计算机，也存在着无法弥补的漏洞，这个与哥德尔不完备定理等价的理论是人工智能和思维的“怪圈”。
人在漆黑的夜晚、迷蒙的雾中、茫茫的风雪中、遮天蔽日的森林中等无法辨别方向的条件下行走，无论起初朝什么方向，其结果都是不断地回到原来的出发点。这是行走时的一种“怪圈”。美国大幽默家马克·吐温在他的《国外旅游记》就记叙了他在旅馆的一个黑暗房间里旅行了整夜的故事。在那天夜里，他在那个房间里转圈47英里（约75公里），仍然没有走出房间。虽然这一故事有夸大其辞之嫌，但人在无法辨别方向时会“转圈”却是不争的事实。
人为什么会转圈呢？这是由于人的左脚走出一步与右脚走出一步的长度不相等的缘故。由于左右脚每步长度不等，所以每走一步便偏离前进方向一点点——“差之毫厘”，许多步积累起来，最终便回到原地——“失之千里”了。有人在威尼斯的马尔克广场上做了这样一次试验。把一些人的眼睛蒙上后，把他们送到广场的一端，叫他们走到对面的教堂去。虽然要走的路仅有175米，但却没有一个人走到宽达84米的教堂前——都走成了弧线，偏到一边碰到旁边的柱子上。挪威生理学家古德贝克在1896年对类似问题作过专题研究，并搜集了这类例子。其中例子之一是，有3个旅行者在宽约4公里的山谷中，企图在黑夜中走出山谷，但走了5次，都回到了原出发点，最后筋疲力尽，只好坐待天明。
在许多旅游景点，都有一个“瞎子摸佛”——蒙上双眼走一段路去摸“佛”字或一座佛像——游戏，但多以失败告终，也是上述道理。
不仅走路如此，划船也如此。古德贝克搜集了一个在浓雾中的小船，在一个4公里宽的海峡兜圈子的例子——人两手划桨时用力不等使船的行进路线偏离，不断偏离便回原地。
不但人有此“怪圈”，许多生物也是这样。北极探险家发现，爱斯基摩狗拉雪橇时如不导引，这只狗会在雪地上转圆圈。把狗的眼蒙上放进水里，它会在水里转圈。瞎眼的鸟在空中会转圈，被击伤的野兽会因恐慌而不自觉地沿曲线逃离，蝌蚪、螃蟹、水母、微生物阿米巴等都会沿曲线运动。
由此可见，“怪圈”是科学、艺术和生物等领域中一个普遍的现象，怪不得霍夫斯塔特将“怪圈”称为“一条永恒的金带”。
从理发师到“悖论”——“怪圈”，使我们清醒地认识人类，认识自己，认识大自然。
从骰子到原子弹
蒙特卡洛是地中海沿岸欧洲国家摩纳哥的一个城市，它以“赌城”闻名于世。那里云集了来自世界各地的赌徒。赌徒们赢了，可以“纸醉金迷”一番；输了，可以到那里的一座“自杀桥”投河自尽——生死都可以“风流”。
蒙特卡洛方法，是数学中的一种方法。那为什么数学方法要用这样一个“不光彩”的城市来命名呢？骰子和原子弹与它又有什么关系呢？
数学有一门叫概率论的分支，而它的起源则是对赌博的研究。而当时欧洲在赌博时常用骰子为赌具，于是我们的故事就从15世纪欧洲用骰子的赌博开始。
意大利数学家帕巧利（1445～1514）最早对赌博中的输赢作了估计。他于1494年发表了数学专著《算术、几何、比和比例摘要》，其中就研究了如下赌博问题。在一次赌博中，两个赌徒都各自要赢6次才算赢。但在一个只赢了5次，另一个只赢了2次时比赛就中断了。问题是：
这时应如何分配总的赌金。帕巧利的主张是按5∶2分配。虽然他并没有正确地解答这一问题，但由此却引起了人们的思考。
到了16世纪，另外两位意大利数学家塔尔塔利亚（约1500～1557）和卡尔丹（1501～1576）也研究过类似的赌博问题。卡尔丹还为此写了一本叫《赌博论》的书。书中算出了掷两颗或三颗骰子时，在一切可能的方法中得到某一总点数的方法数；并认为上述问题的答案不是赌过的次数之比5∶2，而是应考虑剩下的次数，即总赌金应按（1+2+3+4）∶1＝10∶1来分配——可见他的思路是对的，但计算方法却不对。
16世纪末，欧洲许多国家的保险业从航海扩大到工商业。由于保险业务的扩大和保险对象都带有随机现象的色彩，所以迫使他们研究这样一个问题：既要保证赢利，因此收的保险金不能太少；又要保证投保人乐意投保，因此收的保险金又不能太多。这就需要对保险问题所涉及的随机现象进行研究而创立保险业的一般理论。于是，概率论产生的时机到了。但问题的难点是，保险问题所涉及的随机现象常常被许多错综复杂的因素干扰，因此，人们便从简单的、容易研究的赌博问题入手，于是“骰子”再次摆到数学家们的桌子上。因此，后来有人甚至戏称概率论为“赌博的科学”。
1654年7月29日，是概率论史上一个值得纪念的日子。这一天，法国数学家帕斯卡写信给另一位法国数学家费马研究了赌博问题。由于二人的通信讨论，概率这一概念才比较明确。因此，二人是严格意义下的概论的早期创立者。当然，创立者还应加上荷兰数学家惠更斯，因为他于1657年发表了《论赌博中的推理》。在该文中，他建立了概率和期望等重要概念，并得到相应的性质和计算方法。
那帕斯卡为什么会给费马写信呢？原来，他有一个朋友叫梅雷，是一个赌徒。梅雷曾与一个侍卫官投骰子赌博，各出30个金币，双方约定如果梅雷先掷出了3次6点，60枚金币就归梅雷；侍卫官如果先掷出3次4点，60枚金币就归侍卫官。但意外的事发生了：正当梅雷掷出2次6点，侍卫官掷出1次6点时，侍卫官得到通知，必须马上回去陪国王接见外宾。赌博显然无法进行了，那赌金如何分配呢？梅雷说他应分得全部赌金的3/4即45枚金币，而侍卫官则说自己应分得全部赌金的1/3即20枚金币。双方争论不休，但谁也说服不了谁。于是梅雷就写信向帕斯卡求教。帕斯卡对此也很有兴趣，他经过研究后把这一难题和他的解答一起寄给费马，于是就有了上述通信研究。
经过18～19世纪数学家们的研究，概率论得到了飞速发展。
到了20世纪二战爆发后，美国在40年代进行了原子弹的研制。在这期间，出生在匈牙利的美国数学家冯·诺伊曼与另一位美国数学家乌拉姆提出了蒙特卡洛方法。当时在美国的洛斯—阿拉莫斯实验室工作的物理学家要计算中子在各个不同介质中游动的距离，研究链式反应。上述二人利用数值计算的方法和技巧，在计算机上实现了第一个蒙特卡洛的程序，跟踪大量的中子，模拟每个中子游动的“生命”历史，然后作统计处理，使中子运动的统计规律性得以呈现。
从此，蒙特卡洛方法开始得到广泛应用。数学、物理、化学、国民经济、科研各学科和部门，都可以在通常的解析方法或数值方法难以得到解答时大显身手。而这一方法的建立则得益于概率论的发展，概率论又来自对赌博的研究。所以，以赌城——蒙特卡洛命名便不足为奇了。
纪念保姆引出的发明
一台仪器与心脏病人相连，经过仪器的自动描记器，得到心电图，用来诊断心率、传导、冠状动脉硬化的程度。医生结合心电图与病人症状的对应关系，还可识别出诸如心房纤颤等其他类型的心脏疾病。
可是，对它的发明者和他为何要作出这样的发明，却鲜为人知。它的发明者是荷兰科学家威廉·埃因托芬（1860～1927）。
埃因托芬于1860年5月21日出生在印度尼西亚爪哇岛三宝垄的一个大种植园主之家——那时印尼是荷兰的殖民地。他小时候是由一个称为洪妈的中国阿妈带大的。4岁起，洪妈就带他到上海侨居了6年，并在上海法量公学上小学。喜爱他的洪妈还带他到广东新会——洪妈的家乡住了半个月。在埃因托芬17岁那年，洪妈不幸因心脏病死于他爪哇家的田庄里，他悲痛不已。
埃因托芬不只是悲痛，而且对这位慈祥、勤劳、仁爱的长者还充满着深深的敬意。为此，他立志学医，并终生从事对夺去洪妈生命的疾病——心脏病的研究，终于1885年取得医生资格。
荷兰有一座以医科闻名于世的权威学府——乌特勒克大学，这里有一位著名荷兰医学家杜德（1818～1889），他是现代眼镜片的设计者，埃因托芬就向他学医。杜德年迈时，把自己尚未完成的病理研究资料，全部传给自己的得意门生埃因托芬，并再三叮嘱他说，科学家对心脏病的研究尚不理想，要他“大胆地往前走”。
人们早已发现“生物电”，两位德国科学家更进一步，发现青蛙的心脏会产生电流。基于这些认识，埃因托芬决定研究心脏的电活动。为了实现这一研究，埃因托芬曾转入物理系苦读一年，从而掌握了电学的基本原理。
以扎实基本功和爱心为前提，埃因托芬经过多年研究，终于悟出：心脏每次收缩之前，会先发生电激动，这会传至身体表面各部位，造成体表不同部位之间的电压。将此电压用仪器描绘成波形，就是正常的心电图。但当人有心脏病时，这个波形就不正常，由此即可诊断疾病。
在埃因托芬之前，一位叫沃洛的科学家就发明了一种心电图仪，但描记不灵敏，且要经过复杂的计算，所以效果不太理想。
埃因托芬成功设计了关键部件——指针式微电流计。这一也被称为悬线电流计的装置用极细的镀银石英丝代替原来的线圈和镜子，使之更为灵敏。这根石英丝悬于两个磁极之间，当有微弱电流通过时，它就要发生偏转；电流越大偏转幅度也越大。他的具体做法是：把电极置于病人手臂和腿上，利用上述装置即可探测到心脏向全身泵送血液时通过心肌的电脉冲。而记录这些电脉冲的妙法是：让悬线电流计在偏转时挡住一束光，这就在纸上留下一束阴影；再用一条不断移动的长长的感光纸，便连续地记录下心肌活动的这些电脉冲了，这个图形就是心电图——记在感光纸上的图。
1903年，他终于完善了用以记录心脏跳动时心电变化状况的心电图仪，使之成为临床上有实用价值的诊断心脏的有力工具。后来，又经许多人的改进，心电图仪才成了现在这个样子——不但可以在示波屏上及时显示出心脏电脉冲的波形及各种参数，而且可以用电脑在纸上打印出来。
1924年，埃因托芬因发现心电图的产生机制和改进、完善心电图仪，被授予诺贝尔医学和生理学奖。当他怀着对洪妈的怀念以64岁的高龄去斯德哥尔摩领奖时，却真切地认为在医学研究上比他贡献大的人很多，他觉得受之有愧，显示出一位科学家的谦虚美德。
1925年埃因托芬退休后，立即偕妻子、儿女重返印尼，到爪哇为洪妈扫墓。他默默地为洪妈祈祷：愿洪妈在地下平安——他已经完成了纪念洪妈的发明，为诊断夺去洪妈生命的那种疾病的发明。
利用生物电诊断疾病，并不仅限于心脏。1929年，伯格尔（PBerger）发明的脑电图仪，可以记录脑电流活动的情况，于是脑电图就为癫痫病和脑损伤定位等提供了有效的检查方法。大致同时，肌电图仪问世，到20世纪40年代，肌电图已能真正用于诊断肌肉损伤了。
我们无法“假设”要是埃因托芬如果不是充满对洪妈的爱，是否也会立志学医，或者是否也会作出荣获诺贝尔奖的发明，从而使心脏病患者的今天更加美好。
从狗尿招蝇到胰岛素
1889年的一天，德国医学家冯·梅林（1849～1908）和出生在俄国、但长期在德国工作的医生兼病理学家闵可夫斯基（1858～1931）及助手作了一次狗的胰脏切除手术，其目的是研究胰脏在消化过程中起什么作用。手术后，一个助手偶然发现，流出的狗尿竟引来大群苍蝇，他将此事告诉了闵可夫斯基。后者没有放过这个疑点，对狗尿进行了化验，发现狗尿中的糖分是招苍蝇的主要原因。经过实验、研究表明，切断狗的胰腺，就可使狗患上糖尿病。这样，就发现了糖尿病是由于胰脏丧失功能使尿中糖分过多所引起的。这一工作是把胰脏同糖尿病联系的开始。这一发现导致后来用胰岛素控制糖尿病的医疗方法。
但是，他将上述疑点提出时，立即遭到许多人包括一些专家的冷嘲热讽：一个专家竟对司空见惯的狗尿“情有独钟”！但闵可夫斯基对此却不屑一顾，终于得出上述成果。
