将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式s=a1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0.666……=0.6·，0.242424……=0.2·4·。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：
0.666……=0.6 0.06 0.006 ……
=610 6100 61000 610000 ……
0.242424……=0.24 0.0024 0.000024 ……
=24100 241000 241000000 ……
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0.6666……的公比是110，而0.242424……的公比是1100.根据求和公式得：
0.66……=6101-110=610-1=69，
0.2424……=241001-1100=24100-1=2499.
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如：
0.4444……=0.4=49
0.5656……=0.56=5699，
0.31233123……=0.3123=31239999=3471111.
下面再来看看以下两个循环小数：
0.2888……=0.28，0.3545454……=0.354它们都不是从小数点的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
0.2888……=210 8100 81000 810000 ……
0.35454……=310 541000 54100000 ……
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以110，1100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得：
0.2888……=210 81001-110=210 8100-10=210 890=2×9 890=2690=1345.
0.35454……=310 5410001-1100=310 541000-10=310 54990=3×99 54900=351990=39110.
由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：
0.2777……=0.27=27-290=2590=518.
0.31252525……=0.3125=3125-319900=15474950.
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。
