几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫勾股定理，在国外叫毕达哥拉斯定理，相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜欲狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫百牛定理。
勾股定理的大意是：任意画一个直角三角形，它的两条直角边的平方和，一定会等于斜边的平方。这个定理精确地刻画了直角三角形3条边之间的数量关系，以它为基础，还可以推导出不少重要的数学结论来。
勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。几千年来，人们已经发现了400多种不同的证明方法，足以编成厚厚的一本书。实际上，国外确实有一本这样的书，书中收集有370多种不同的证法。在为数众多的证题者中，不仅有著名的数学家，也有许多数学爱好者。美国第20任总统伽菲尔德，就曾发现过一种巧妙的证法。
伽菲尔德的证法很有趣。他首先画两个同样大小的直角三角形，然后设法组成一个梯形。根据梯形面积的计算公式，整个图形的面积为
S=a b2（a b）
=12（a2 b2 2ab）。
另一方面，根据三角形面积计算公式，整个图形的面积为
S=12ab 12ab 12c2=12（2ab c2）。
即a2 b2=c2.
据说，世界上最先证明勾股定理的人，是古希腊数学家毕达哥拉斯，但谁也未见过他的证法。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得，他的证法采用演绎推理的形式，记载在世界上数学名著《几何原本》里。
在我国，最先明确地证明勾股定理的人，是三国时期的数学家赵爽。
赵爽的证法很有特色。首先，他作4个同样大小的直角三角形，将它们拼成设定的形状，然后再着手计算整个图形的面积。显然，整个图形是一个正方形，它的边长是C，面积为C2.另一方面，整个图形又可以看作是4个三角形与1个小正方形面积的和。4个三角形的总面积是2ab，中间那个小正方形的面积是（b-a）2，它们的和是2ab （b-a）2=a2 b2.比较这两种方法算出的结果，就有，a2 b2=c2.
赵爽的证法鲜明地体现了我国古代证题术的特色。这就是先对图形进行移、合、拼、补，然后再通过代数运算得出几何问题的证明。这种方法融几何代数于一体，不仅严谨，而且直观，显示出与古代西方数学完全不同的风格。
比赵爽稍晚几年，我国数学家刘徽发明了一种更巧妙的证法。在刘徽的证法里，已经用不着进行代数运算了。
刘徽想：直角三角形3条边的平方，可以看作3个不全相等的正方形，这样，要证明勾股定理，就可以理解为要证明：两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积。
于是，刘徽首先作出两条直角边上的正方形，他把由一条直角边形成的正方形叫做“朱方”，把由另一条直角边形成的正方形叫做“青方”，然后把图中标注有“出”的那部分图形，移到标注有“入”的那些位置，就拼成了图中斜置的那个正方形。刘徽把斜置的那个正方形叫做“弦方”，它正好是由直角三角形斜边形成的一个正方形。
经过这样一番移、合、拼、补，自然而然地得出结论：
朱方十青方=弦方。
即a2 b2=c2.
“青朱出入图”，这是一幅多么神奇的图啊！甚至不用去标注任何文字，只要相应地涂上朱、青两种颜色，也能把蕴含于勾股定理中的数学真理，清晰地展示在世人面前。
我国著名数学家华罗庚认为，无论是在哪个星球上，数学都是一切有智慧生物的共同语言。如果人类要与其他星球上的高级生物交流信息，最好是送去几个数学图形。其中，华罗庚特别推荐了这幅“青朱出入图”。
我们深信，如果外星人真的见到了这幅图，一定很快就会明白：地球上生活着具有高度智慧和文明的友邻，那里的人们不仅懂得“数形关系”，而且还善于几何证明。
