我们知道，x y=z是一个三元一次不定方程，它的正整数解有无穷多个。x2 y2=z2是一个三元二次不定方程，它的正整数解也有无穷多个。
在初中平面几何中学过勾股定理，根据这个定理，直角三角形三条边的长就满足这个方程。人们必然要问：x3 y3=z3、x4 y4=z4有没有正整数解呢？一般地说来，xn yn=zn（n是大于2的整数）有没有正整数解呢？最早提出这个问题的是法国数学家费尔马（1601～1665）。
公元1637年，费尔马经过反复研究，提出了如下的结论：对于方程xn yn=zn，其中n是大于2的整数，不存在正整数解。这个结论被人们称为“费尔马大定理”。之所以称为“定理”，是因为当时费尔马声称，他已能证明这个结论。他在一本书的空白之处以批注的形式写道：“我已经找到了这个令人惊异的证明，但是书页太窄了，无法把它写出来。”可是，人们此后找遍费尔马的著作，并未能找到批注中所讲的“证明”。
为了解开这个批注之谜，数学家和业余数学爱好者纷纷开展了对这一问题的研究。可是，问题研究了一百多年都没有能够解决。公元1850年、1853年，法兰西科学院两度以二千法郎的奖金悬赏征解，但都失望了。1908年，德国哥廷根科学院又以十万马克巨金悬赏，征求费尔马大定理的“谜底”。
科学发现的荣誉，高额的悬赏，引得大批业余数学爱好者对这一问题进行研究，不少人还声称得到了“证明”，但经过权威数学家的“审查”，这些“证明”均一一被否定。哥廷根科学院不堪审稿的烦扰，一方面把奖金降为七万五千马克，另一方面又以仅接受公开发表的文章为由，打发了一大批“证明”者。但这样做的结果又产生了副作用：社会上又出现了成千种公开发行的所谓“费尔马大定理证明”的小册子，以及上万篇同样性质的文章。当然，这只是“费尔马大定理”证明历史长河中的一股支流，应该充分肯定的还是长期来一些优秀数学家所作出的努力和获得的成果：
欧拉（Euler）证明了n=3，4的情况；
1823年，法国数学家勒让得证明了n=5的情形；
1840年，法国数学家拉梅和勒贝格证明了n=7的情形；
1849年，德国数学家库默尔证明了n=3～100（37、59、67除外）的情形，但其中有错误；
1976年，美国数学家证明了2＜n＜1000000的情形。
当然，以上这些数还包括它们的倍数在内。1983年，前联邦德国乌珀塔尔大学29岁的讲师法尔廷斯（Falitings）证明了数学中的“莫德尔猜想”。这个猜想的一个直接推论是，对任何固定的正整数n（n＞3），xn yn=zn至多只有有限多组互素的正整数解。
接着，希思—布郎又证明了，对“几乎所有”的n，费尔马大定理都是成立的。
1988年3月10日，美国《波士顿环报》报导，日本数学家宫冈在前联邦德国一数学研究所证明了费尔马大定理。可是时隔仅一个月，美国《科学新闻》及其它一些报刊报导，著名数学家们在检验了宫冈的手稿后说，证明在细节上是有问题的。
1993年6月23日，一个令人震惊的消息在全球传开了——350年来悬而未决的费尔马大定理终于被40岁的英国数学家安德鲁·怀尔斯所解决。
怀尔斯现在美国普林斯顿大学工作，他是一位具有世界水平的数论专家。1993年6月21日～23日，他在故乡英国的剑桥大学艾萨克·牛顿数学研究所一连三天以“模形式的椭圆曲线和伽罗瓦表示”为题进行演讲。开始，谁也看不出他有讨论费尔马大定理的意图。最后那天，在演讲的结尾部分，怀尔斯总结说，他证明了由日本学者谷山丰提出的一个猜想。在场的专家们立刻意识到，这意味着：怀尔斯已经证明了费尔马大定理。
人们纷纷举起相机，抢拍下这一历史的镜头。接着是一片经久不息的掌声。成千上万的祝贺电话、邮件象雪片似地飞来，世界各大报纸竞相报导这一消息。
怀尔斯的证明是否正确？这有待数学家们详细的审查。不过，国际数论权威邦别里、里贝特、梅热、阿德勒曼等均对此表示乐观的态度。这是因为怀尔斯研究作风一向严谨细致，而且他的推理是以近30年来诸多数学家的成果为根据，这些根据都是可靠的。
现在看来，费尔马当初的“批注”，如果不是开玩笑的话，那么，他的“证明”一定是有问题的。因为仅用当时数学知识，是根本无法证明这个定理的。不过，开玩笑也好，犯错误也好，费尔马的“批注”毕竟建立了历史的功勋，因为他吹响了攻克费尔马大定理的进军号。
