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第7章 公共知识

一、谁的脸上沾有泥巴

庄子与惠施的辩论,庄子与惠施在濠水的桥上游玩。

庄子说:“白鱼在河水中游得多么悠闲自得,这是鱼的快乐啊。”

惠施说:“你不是鱼,哪儿知道鱼的快乐呢?”

庄子说:“你不是我,怎么知道我不知道鱼的快乐呢?”

惠施说:“我不是你,固然不知道你;你本来就不是鱼,你不知道鱼的快乐,是可以肯定的!”

庄子说:“请从我们最初的话题说起。你说‘你哪儿知道鱼快乐’的话,说明你已经知道我知道鱼快乐而在问我,我是在濠水的桥上知道的。”

惠施反驳庄子:“你不是鱼,怎么能够‘知道’鱼的快乐呢?”

庄子则说:“你不是我,怎么‘知道’我‘不知道’鱼的快乐呢?”

惠施则说:“正因为我不是你,而‘不知道’你,可以推得你不是鱼,你‘不知道’鱼的快乐,是可以肯定的!”

庄子与惠施辩论的中心是,能否知道他人对事物的“知道”情况。庄子认为“能”,惠施则认为“不能”。

然而在他们的辩论中,存在他们两人都认可的东西,这些东西如:“你不是鱼”、“你不是我”、“我不是你”。

这些双方均认可的东西构成庄子与惠施辩论的前提。对于这些前提,庄子与惠施知道,并且知道对方知道,并且知道对方知道自己知道……这些被认可的前提是庄子与惠施之间的公共知识。

这个故事引出一个非常重要的概念——公共知识。

公共知识(commonknowledge)概念最早由美国逻辑学家刘易斯提出,经逻辑学家辛迪卡以及博弈论专家奥曼等人的发展,今天已经成为逻辑学、博弈论、人工智能等学科里频繁使用的一个概念。

公共知识是指某一个群体的知识。公共知识在我们日常对话、交流中起着非常重要的作用:它是交流和对话的起点——从已知的公共知识开始,同时也是交流、对话的终点——形成新的公共知识。当然,人们的误解也往往由于对某些公共知识的误解造成的——将本来不是公共知识的东西看成是公共知识。

一个群体与另外一个群体之所以不同,就在于它们拥有不同的公共知识。

那么什么是公共知识?

假定一个人群只有两个人A、B构成,A、B均知道一件命题p, p是A、B的知识,但此时p还不是他们的公共知识。当A、B双方均知道对方知道p,并且他们各自都知道对方知道自己知道p,此时我们说,p成了A、B之间的公共知识。

一般地,如果p是n人组成的群体G的公共知识,意即:群体中的每个人都知道p,并且群体中的每一个人都知道每个人知道p。

知识是相对于理性的主体而言的,传统上的知道逻辑是分析个体的认知结构。公共知识是相对于某一个群体而言的,此时要分析的是每个理性的人组成的群体的知识分布情况。

古希腊哲学家苏格拉底通过与他人的对话发现,自己与其他人的不同在于:“我知道自己无知。”

二、谁的脸上沾有泥巴

假设教室中有n个孩子,其中有m个孩子脸上有泥巴。这些孩子能够看到其他孩子脸上有泥巴,而看不到自己脸上有泥巴。

老师进教室对他们说:“你们中有人脸上有泥巴,知道自己脸上有泥巴的人请举手。”

假定孩子们之间没有信息交流,并假定他们都是逻辑学高手,能够进行逻辑推理。

当老师重复询问多少遍重复,才有孩子举手说“知道”,并且有多少个孩子同时举手?这就是著名的“脸上沾有泥巴的孩子之谜”(MuddyBoyPuzzle)。

我们假定这群孩子有10个。在老师未说话之前,这群孩子组成的群体的公共知识有哪些?比如:“每个孩子都有逻辑推理能力”,“每个孩子都听老师的话”,“老师所说的话是真的”,“每个人不知道自己脸上是否有泥巴”……

当老师进入教室后说,“你们有人脸上有泥巴”,群体的公共知识发生了变化。“你们有人脸上有泥巴”是指,至少有一个小孩的脸上有泥巴。

老师做了这个“公布”之后,“至少有一个小孩的脸上有泥巴”成了这群小孩之间的公共知识,即每个人都知道它,每个人都知道其他每个人都知道它。

老师问:“知道自己脸上有泥巴的人请举手。”无论有人举手还是没有人举手,每个人都能够观察到的。也就是说,老师问过之后,举手或不举手现象的发生都会改变公共知识。

如果这10个孩子中有1个孩子的脸上有泥巴,除了这个有泥巴的孩子不知道外,其他人都能够看到并且知道。

老师说“你们中有人脸上有泥巴”后,群体有了一个新的公共知识。脸上有泥巴的孩子看到其他孩子的脸上没有泥巴,他自然会推理得出结论:他的脸上有泥巴。而其他孩子不能判断自己的脸上是否有泥巴。

因此,当老师说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”后,该孩子马上举手说“知道了”。

如果这10个孩子中有2个孩子的脸上有泥巴,尽管老师说了“你们中有人脸上有泥巴”,2个脸上有泥巴的孩子因看到另外一个孩子的脸上有泥巴,他不能得出自己的脸上有泥巴,其他8个孩子也不能得出。

因此,当老师说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”后,所有孩子都没有举手。这表明这不是上述只有1个孩子的脸上有泥巴的情况。即10个孩子当中至少有2个孩子脸上有泥巴。

当第一次所有孩子都没有举手,这2个脸上有泥巴的孩子因只看到另外一个人的脸上有泥巴,马上推理出自己的脸上有泥巴。

因此,当老师第二次说:“知道自己脸上有泥巴的人请举手”,脸上有泥巴的2个孩子都举起了手。

如果这10个孩子的脸上都有泥巴,老师第10次说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”,这10个孩子此时举起了手。

因此,这个脸上沾有泥巴的孩子之谜的答案是:假定有n个孩子的脸上有泥巴,老师第1次到m-1次说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”,都没有学生举手(都不知道自己的脸上是否有泥巴),当第m次说“知道自己脸上有泥巴的人请举手”,所有脸上有泥巴的孩子都举起了手。

在竞争激烈的社会,我们要学会在不确定的情况下作出理性、一致的决策,而且应该或尽可能有效运用自己所知的一切。

三、“老师的生日”之谜

小李和小王都是张老师的学生,张老师的生日是M月D日,2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天,这10组日期为:

3月4日,3月5日,3月8日;

6月4日,6月7日;

9月1日,9月5日;

12月1日,12月2日,12月8日。

张老师把M值即月份告诉了小李,把D值即日期告诉了小王,张老师问他们知道他的生日是那一天吗,小王说:“我不知道。”小李说:“本来我不知道,现在我知道了。”小王说:“现在我也知道了。”

答案是6月4日。

这个故事还是用来说明公共知识。有关公共知识的案例推理是如此有趣,然而又很费解。

这个故事的推理过程如下:

根据小王的话“我不知道”,张老师的生日不能是6月7日和12月2日。推理如下:

从上面10组日期中可知,张老师的生日的日期为1、2、4、5、7、8日中的一天。其中,1日、4日、5日、8日各出现2次:9月1日和12月1日,3月4日和6月4日,3月5日和9月5日,3月8日和12月8日;而2日和7日只出现1次:12月2日,6月7日。

张老师告诉了小王张老师的日期即D值。如果D值为7日或2日,小王马上能够确定出张老师的生日,因为这两日只有一个可能性。

因此,如果他说“知道”,表明张老师的生日或者是6月7日或者是12月2日。若D值为1、4、5、8日,小王无法根据他所知道的信息推得张老师的生日,因为这四个可能的D值都有两个具体的日期。

因此,小王说“不知道”表明张老师的生日不可能是6月7日或者是12月2日,否则的话,他应当说“知道”。

根据小李说的“本来我不知道,现在我知道了”,我们可知,张老师的生日只能是6月4日。推理如下:

小李知道张老师生日的月份,即他知道张老师的生日在3、6、9、12四个月中的一个确定的月份。

然而,3、6、9、12四个月中都有两个或三个可能的日期:在3月中有3月4日、3月5日和3月8日三个可能的日子,在6月中有6月4日、6月7日两个可能的日子,在9月中有9月1日、9月5日,12月中有12月1日、12月2日、12月8日。

虽然小李知道张老师生日的月份,比如说他知道张老师的生日在3月份,但是每个月份中有两个或两个以上的日子,如3月中有三个可能的日期:3月4日、3月5日和3月8日,小李无法知道张老师的生日为具体的哪一天。

这也是小李说“本来我不知道”的原因。

但是小王说“不知道”排除了张老师的生日为“6月7日”和“12月2日”的可能性。

这样,张老师的生日的可能日期减少了两个,其余日期如下:

3月4日,3月5日,3月8日。

6月4日。

9月1日,9月5日。

12月1日,12月8日。

这也是小李所能够分析到的。

小李听到小王说“不知道”后说“现在我知道了”表明,此时他能够确定具体的日子即D值。

在上面4个月份中有8组日期,而唯有在6月份,只有一个可能的日期即6月4日,其余的月份中有两个或三个可能的日期。

若张老师的生日在3、9、12这三个月份,小李是无法说他知道了张老师的生日的,张老师的生日只能在6月,小李才能说“现在我知道了”。

因此,小李说“现在我知道了”表明,张老师的生日只能在6月,即6月4日。

小王听到小李说“知道”后说“现在我也知道了”,表明小王根据小李给他的信息也推算出了张老师的生日。

在这个推理的过程开始,张老师生日的10组可能数字是双方的公共知识,M值为小李的知识,D值为小王的知识,M值和D值不是他们的公共知识。

当小王说“不知道”张老师的生日的之后,“张老师的生日不是6月7日和12月2日”便是他们间的公共知识。

而当小李说“本来我不知道,现在我知道了”之后,6月4日是张老师的生日便成了他们间的公共知识。

并不是所有的信息都要依靠间谍们舍生忘死的获取,因为,有些信息是公开的,这就是公共知识。

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