第8章

前面已假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛，还余下21-5=6头牛要吃牧场上原有的草，这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期，就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。

也就是说，放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。

79

分析与解根据题意，红色铅笔分别与黄、蓝、绿、白四种颜色的铅笔搭配，有不重复的4组；黄色铅笔分别与蓝、绿、白三种颜色的铅笔搭配，有不重复的3组；蓝色铅笔分别与绿、白二种颜色的铅笔搭配，有不重复的2组；绿色铅笔与白色铅笔搭配，有不重复的1组。所以最多可以搭配成不重复的4＋3＋2＋1=10组。

80

如果只剩4，5号，5一定会反对4，因为没过半数，4一定被杀，5得到全部宝石；

所以如果只剩3，4，5号4号一定会支持3号这样才能活下去；

而3号提出的方案一定会通过，且有利于自己，即100，0，0；

因此3号一定想除掉前面的1，2号，3肯定会反对1的方案；

2暂时忽略。如果1给4，5号每人一个宝石就比没有强，4，5号一般会支持；

所以考虑他们的心理，但是如果1死后，2也会给4、5一人一颗，这样的话，4，5就不一定支持1号了，一号只有再拿出一颗给4或5，大家再来看3号，如果1号不给他一点，他是一会同意的，所以正确答案是：

96，0，1，1，2或96，0，1，2，1

81

根据原题可以写出这样一个不定方程：

A+B+C+D=711

A×B×C×D=711

该不定方程有两个方程式组成，有四个未知数，用一般解方程方法是无法得到未知数的解的（这也是为什么这种方程被称为不定方程）。解不定方程，需要用题目中给与的或明确或隐含的条件来辅助解决。

人们不习惯于小数的运算，因此，可以把该方程转化为整数：

A+B+C+D=711

A×B×C×D=711000000

首先，要从这711000000着手，711000000等于79×5×5×5×5×5×5×3×3×2×2×2×2×2×2，ABCD必定分别是它们某几个之间相互的乘积。这里隐含的已知条件是：ABCD，均是正整数，在数值在1到711间（确切地说，ABCD每个数都不小于1，不大于708）。

注意上述的分解出的乘数中，比较突出的数字是79，它只出现一次，且最大，是破案中最明显的目标。在ABCD中，其中一个必含有79（是79的倍数）。因为上面我们说过，ABCD任何一个数，包括该含有79的数不能大于711，那么该含79的数字小于711的可能的值有6个，从大到小分别是79×3×2=474，79×5=395，79×2×2=316，79×3=237，79×2=158，及79本身。看，我们一下就把侦破的范围缩小到六个数中，该问题的答案中的含有79的那个数，就在这六个数之中。

让我们分别来看，看这六个可能的数，是否可以满足作为方程的解的要求。

第一个，看看474。711000000除掉474（79×3×2）后，剩下的数是5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2，这些数字要组合成三个数，这三个数的和要等于711－474=217。我们知道，由乘数分别组合来的几个数，在它们数字最接近时，其和最小。例如，2×2×2×2×2×2组合成两个数字时，只有在组合成2×2×2和2×2×2时，它们的和最小，为16，其它的任何组合成两数的和，都大于16（例如，2×2×2×2+2×2=20）。我们可以看到，5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2能组合成的和为最小的三个数（最为接近的三个数）是100，120，125，而它们的和是345，大于所要满足的217。因此，无论它们如何组成三个数，都只可能大于217，而不可能满足等于217的作案条件/解题条件，那么问题出在哪里呢？问题出在，79×3×2=474不可能是该题的解，即474不是ABCD中的任何一个，因为如果ABCD其中一个是474，其它数无论如何组和，都不可能满足那两个方程式。这样，我们可以排除474。

第二个，看看395（79×5）。用同样的分析，我们可以看到，711000000除去395后，所余下的数，能组成的和为最小的三个数是120，120，125，其和为365，大于所要的711－395=316。同样道理，395也可以排除在嫌疑之外。

第三个，看看316（79×2×2），当然还用同样的分析方法。哈，这次猜猜会有什么样的结果呢？呵呵，这次我们的运气实在是好，阳台上花盆不小心掉下去，正砸在楼下撬窗准备入室行窃的小偷脑袋上。711000000除去316后，余下的数组合成的和为最小的三个数为120，125，150，而120+125+150=395恰等于711－316。结果，在排除疑犯时，一不小心，歪打正着，我们抓住了正在作案的家伙，316，120，125，150恰是满足原题条件的一组解。而且，在一个数是316的情况下，除了120，125，150外，其它组合成的三个数都要大于395，因而，在一个数是316的情况下，只有这一组解。

抓住一组案犯，但是否还有其它案犯存在呢？换成数学语言是，这组解是否是唯一解呢？

六个可能的含有79的值，我们分析了三个，还剩下三个。这剩下的三个数，我们也要排查一下。

第四个，看看237（79×3)。这次，用上面的方法就不灵了，因为在下面这三个数字，被711000000除后的数值，组成三个数的最小和，可以小于711减该数的差值。这次，我们用新方法。如果四个数字中，一个是237，那么余下的三个数值之和应该是711－237=474。我们再看看711000000除以237后，得到5×5×5×5×5×5×3×2×2×2×2×2×2，注意其中的六个5。如果这三个数值都含有5，那么其和必定也可以被5整除。但474是不能被5整除的，说明至少一个数值之中不含有5。是否可能只有一个数值中含有5呢？我们看六个5相乘等于15625，远大于所要求的三个数值之和474，所以这六个5不可能完全在一个数值中。同样，一个数值中也不可能有五个5相乘（得3125），也不可能有四个5相乘（得625）。所以，可能的情况只有，在含有5的两个数值中，一个数值中有三个5，而另一个数值中也有三个5。这样，这两个数字只可能是125或125×2（不可能是125×3，因为125×3+125大于474）。于是，我们只有两组可能的值，一个是125，125，192，另一组是125，250，96。这两组值，其和都不是474，它们都不是我们的题解。排除！

第五个，看看158（79×2)。158也不能被5整除，所以我们仍然可以用上面的方法。过程就不罗嗦了，得到可能的四组值分别是125，125，288；125，250，144；250，250，72；125，375，96。同样，没有一组的和等于711－158，所以，158也是清白的。

第六个，也是最后一个，看看79。79也不能被5整除，我们可以依样画葫芦，略去过程，得到六组值，分别是：125，125，576；125，250，288；250，250，144；125，500，144；125，375，192；250，375，96。我们高兴地看到，它们也都不满足要求（三者之和要等于711-79），所以，79也是清白的。

回首看看，在六个可能的含79的值中，只有316是满足条件的，且发现了一组解，316，120，125，150，且是唯一的一组解。

不要忘了，为了计算方便，我们去掉了小数点，我们还要把小数点加回去。

最终答案：这四种商品的价格分别是：316美元，120美元，125美元，和150美元。

82

从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个“延时”、5个“间隔”，共计（3+1）×5=20秒。当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3秒”和“间隔1秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点。因此，答案应是：

（3＋1）×6=24（秒）。

83

由第一个月到第十二个月，兔子的对数分别为：一1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。所以，满一年时可以繁殖出376对兔子。

84

也许大多数人都能回答这个问题，他们是这样回答的：让这两个青年重新赛跑一次。因为既然好青年能追上小偷，所以好青年一定跑得比小偷快。

这种回答一般还是有道理的。可是，一位同学的回答很有新意，很有独创性。

这位同学是这样回答的：

估计命题者的意图，是要让两个青年重新作一次赛跑，从而辨认出谁是小偷，谁是好青年。我认为用这种办法来破此案，极易冤枉好人，放过坏人。

因为人是有意识的动物，人的各种活动与心理状态有密切的关系。现在我们来看看小偷与追捕者的心理状态吧：作案者在作案时必然内心空虚，在心虚和恐惧的心理状态下，必定会减弱运动中枢神经的活动，使肌肉的作用不能充分发挥；另外，由于作案者在逃窜时要选择逃跑的道路，还要窥测前后左右的动向，作好“应变”的准备，因此大脑无法集中于跑步的动作。在这种情况下，作案者是跑不出正常速度的。

而追捕者的心理状态正好相反，他一股正气，情绪高昂，另外他也不必分心择路。更重要的是由于追捕者还有一个为他人、为社会做好事的动机，使他的神经系统处于非常兴奋的状态，所以在追捕时，一般都会超过平时的运动水平，跑得飞快。

但是，当以赛跑来区别好人和坏人时，两个人的心理状态都会发生根本的变化。作案者在案发时的过分紧张心理已经松驰了。另外，由：“倒打一耙”之计暂时得逞而洋洋得意，为使自己能从罪犯变成“英雄”，他必然要“拼搏”一番。这样，作案者就往往处于较佳的竞技状态，因此赛跑时会跑得比逃跑时快得多。而见义勇为的好青年，却有着一肚子窝囊，自己不顾个人安危，奋勇捉拿罪犯、反而受到怀疑，还要荒谬地通过与罪犯“平等”地赛跑来确定谁是小偷。因此，大脑皮层的活动受到抑制，影响了肌肉和关节的活动。在这种心理状态下，追捕者的赛跑速度一般就要比抓小偷时慢了。由此可见，不加心理分析，用这种简单的赛跑方法来区别好人和坏人一定是靠不住的。

所以，要区分谁是小偷，还要再找证据加以证实。

85

严格说来，0625不能算是四位数，只能看成四位密码锁上的一个号码。但是它的平方确实把这四位号码完全保留在平方数的尾部。况且，把0625也算在里面，还有一个好处，就是保持了演变的连续性：上面这些等式左边的数，按照位数从少到多，顺次是5，25，625，0625，90625，890625。

这是一个在平方运算下具有数字遗传特性的家族。从这一列数中的每个数要得到它后面相邻的数，只需在原数前面加上一个适当的数字；反过来，要得到这列数中某个数前面相邻的数，只需划去原数最前面一位的数字。只要记下这列数中有一个数是890625，把它的数字从前往后顺次一个一个地划掉，就得到前面几个数了。

下面是另外一组有遗传特性的数：

62=36，

762=5776，

3762=141376。

86答案：对于这个问题，看起来似乎很简单，就是以40人中去掉所有4的倍数，再去掉所有6的倍数，加上4和6的公倍数。若那样想就错了。这里值得提醒大家注意的是要弄清“向后转”的含义。

事实上，在40人中，报数是4的倍数的有10人，报数是6的倍数的有6人，报数既是4的倍数又是6的倍数的有3人，且两次向后转之后已面向老师了。

不妨这样思考：

第一次老师请报数为4的倍数的学生向后转，面向老师的有40－10＝30人。

第二次老师请报数为6的倍数的学生向后转，因为40人中是6的倍数的有6人，这6人中有3个既是4的倍数，又是6的倍数，两次后转已面对老师，但另3个（6的倍数学生）向后转，恰是背对老师，虽然这6个人方向都发生了变化，但面向老师的人数却是没有变的。所以原题的答案应是：40－10－3＋3＝30人。

87

由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别。

既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么，他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿。因此，相对于河水来说，他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。

这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空，但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应，因此对于绝大多数速度和距离的问题，地球的这种运动可以完全不予考虑。

88

许多试图解答这道趣题的人会这样对自己说：“假设我取出的第一只是红色袜子。我需要取出另一只红色袜子来和它配对，但是取出的第二只袜子可能是蓝色袜子，而且下一只，再下一只，如此取下去，可能都是蓝色袜子，直到取出抽屉中全部10只蓝色袜子。于是，再下一只肯定是红色袜子。因此答案一定是12只袜子。”

但是，这种推理忽略了一些东西。题目中并没有限定是一双红色袜子，它只要求取出两只颜色相同从而能配对的袜子。如果取出的头两只袜子不能配对，那么第三只肯定能与头两只袜子中的一只配对。因此正确的答案是3只袜子。

89

苹果是这样分的：把3个苹果各切成两半，把这6个半边苹果分给每人1块。另2个苹果每个切成3等份，这6个1/3苹果也分给每人1块。于是，每个孩子都得到了一个半边苹果和一个1/3苹果，6个孩子都平均分配到了苹果。

90

那位寡妇应分得1000元，儿子分得2000元，女儿500元。这样，法律就完全得到实现了，因为寡妇所得的恰是儿子的一半，又是女儿的两倍。

91

一只手表比另一只手表每小时快3分钟，所以经过20小时之后，它们的时差为1小时。

92

厨师起先买了16只鸡蛋，但老板又加给他2只，所以厨师总共买了18只鸡蛋。

93