第10章

111以湖的中心为圆心，R/4为半径做一个圆。如果老鼠沿着这个圆游泳，那么水中的老鼠和岸上的猫就具有相同的角速度，如果老鼠游泳的半径略小于R/4，设为R’，就会拥有比猫更大的角速度，若老鼠游的时间足够长，完全可以领先猫180度，即老鼠在原点左侧略小于R’处，而猫在原点右侧R处。那么现在老鼠要游R-R’，而猫要跑314R。只要：

4(R-R’)314R……(1)即老鼠在上岸时猫还没有跑到上岸地点，且R’R/4，老鼠就可以逃出猫的追击，事实上这完全是可以的。

解(1)式得：

R’＞0215R

与R’025R有交集，所以老鼠可以逃走。

112以队列为参照系，则队员从队尾走到队首速度为4-15=35m/s，从队首走到队尾用4+15=55m/s

队员从离开队尾到回到队尾所用时间为t=110/35+110/55

再以地面为参照系，队伍前进距离=15t=7714m

改为求队伍长度：

已知队伍在此时间内前进s，又知队伍相对地面的速度，可求得队伍前进的时间。再以队伍为参照系，队员前进和返回的速度已知，根据这两个速度比可知时间比（因为前进和返回的位移相同），因此可以求得前进和返回的时间，进而可以计算出队列长度。

113若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x，y，z只火鸡，那么下午各卖出10－x，16－y，26－z只火鸡。又若设上午售价为每只a英镑，下午售价为每只b英镑。由题意可得如下方程组：

ax＋b（10－x）=56①

ay＋b（16－y）=56②

az＋b（26－z）=56③

这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组。

①－③得（x－z）（a－b）=16b，④

②－③得（y－z）（a－b）=10b，⑤

④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8÷5，即5x＋3z=8y。⑥

由题目条件知，0x10，0y16，0z26，经过代入⑥检验可找出，只有x=9，y=6，z=1是唯一的一组解，再把x，y，z的值代入①、②可算出a=6，b=2。因此上午售价为每只6英镑，下午每只2英镑。约翰、彼得和罗伯上午各卖出9，6，1只火鸡，下午各卖出1，10，25只火鸡。

114老大娘共卖了7只活鸭，第一个人买了4只，第二个人买了2只，第三个人买了1只。

1158个哨所分别在顶点和各边中点，初始：4×11-24=20，所以在每个顶点是20÷4=5人，中点是1人第一次：4×11-28=16，所以在每个顶点是16÷4=4，中点是3人第二次：4×11-32=12，所以在每个顶点是12÷4=3，中点是5人第三次：4×11-36=8，所以在每个顶点是8÷4=2，中点是7人第四次：4×11-40=4，所以在每个顶点是4÷4=1，中点是9人。

116第29天，每天开的是前一天的2倍。

117白色，P点是北极点。

118设四层有灯x个。

x(1+2+4+8+1/2+1/4+1/8)=508

x(127/8)=508

x=32

119把杯口朝上的杯子用+1表示，把杯口朝下的杯子用-1表示。

初始状态是3“+”，11“-”，所以把１４个数相乘则积为-1，而翻动1只杯子时，就是“把+1变为-1或者是把-1变为+1”，当翻动1只杯子时，就相当于原状态乘以-1。

翻动n次杯子时，就相当于乘以n个“-1”

所以每次翻动偶数只杯子时，不改变初始状态是“-1”的这个结果。

所以每次翻动４只杯子和每次翻动６只杯子，不能改变乘积为是“-1”的这个结果。

所以都不能做到。

而每次翻动奇数只杯子时，能改变初始状态是“-1”的这个结果。

所以每次翻动7只杯子且翻动奇数次能做到。

具体操作如下：原状态３只杯口朝上，11只杯口朝下。

①翻动2只杯口朝上，翻动5只杯口朝下，

翻动后，6只杯口朝上，翻动8只杯口朝下。

②翻动3只杯口朝上，翻动4只杯口朝下，

翻动后，7只杯口朝上，翻动7只杯口朝下。

③翻动7只杯口朝上。

翻动后，这时14只杯子都是杯口朝下，完成任务。

120假如只有1只病狗，那么该病狗的主人在第一天看到其余49只狗都没病时，就知道自己的狗有病了，故第一天就会有枪声。假如有2只病狗，其主人分别为甲和乙，第一天没有枪声响起，在第二天甲会做如下思考：如果我的狗没病，那么乙在昨天看到的49只狗全都是正常狗，他就会知道自己的狗有病从而开枪了。他为什么没开枪？这说明他看到我的狗有病。于是甲会在第二天开枪。当然同理乙也会在第二天开枪。实际情形是，第三天才出现枪声，那么一定有3只病狗。

121仔细分析一下各句。根据前三句，我们首先能得出C不是德国人、美国人、俄罗斯人，根据5、6得知C不是意大利人、法国人，所以C是英国人。同样根据前三句知道A不是美国人、俄罗斯人、德国人，根据5得知A不是法国人，又不是英国人（C才是）所以A是意大利人。又根据前三句知A、C、E都不是德国人，根据4知B、F也不是德国人，所以D是德国人。然后E不是美国人、俄罗斯人、德国人，加上得出的结论E不是英国人、意大利人，所以E是法国人。只剩下B和F了，国家只剩下美国人和俄罗斯人，根据6知B不是美国人，所以B是俄罗斯人，F是美国人。

1223升装满，倒入5升桶(5升桶还有2升空间)；3升再次装满，倒入5升桶至满，则3升桶还剩1升；把5升桶的水全倒掉，把3升桶的1升倒入5升桶；3升桶装满倒入5升桶即得4升。

1231、母亲的份额是儿子的1/2，是女儿的2倍，儿子4/7，母亲2/7，女儿1/7。

2、先将财产一分为二，然后再分配，儿子1/3，母亲1/2，女儿1/6。

1241/3-1/5=2/15；3×2/15=6/15；1-1/3-1/5-6/15=1/15；1/（1/15）=15。

125每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于20英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。

126日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360×50=18000元的收入；扣除50间房的支出40×50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160×80-40×80=9600元。

127咋一看，这道题很难，其实不然。设维纳的年龄是x，首先岁数的立方是四位数，这确定了一个范围。

10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位数；22的立方是10648；所以10=x=21x四次方是个六位数，10的四次方是10000，离六位数差远啦。

15的四次方是50625还不是六位数，17的四次方是83521也不是六位数。18的四次方是104976是六位数。20的四次方是160000；21的四次方是194481。

综合上述，得18=x=21，那只可能是18，19，20，21四个数中的一个数；因为这两个数刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，四位数和六位数正好用了十个数字，所以四位数和六位数中没有重复数字。

现在来一一验证，20的立方是80000，有重复；21的四次方是194481，也有重复；19的四次方是130321；也有重复；18的立方是5832，18的四次方是104976，都没有重复。所以，维纳的年龄应是18。

12825根。先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下。回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根。再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，一共25米，要吃25根，还剩25根到家。

129桌子上还剩3枝蜡烛。因为被吹灭的3枝蜡烛没有燃烧完，其他的9枝全部燃烧完了，所以还剩3枝。

1309，19，29，39，49，59，69，79，89，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99。共20次（99里面有2个9）可以这样算：9在个位上出现了10次，在十位上出现了10次，所以共20次。

数字1的有：1、10、11（出现了2次）、12、13、14、15、16、17、18、19、21、31、41、51、61、71、81、91、100。共21次。

数字0的有：0、10、20、30、40、50、60、70、80、90、100（出现2次）。共12次。

13112个球分成3组，每组4个

第一步，拿两组出来称。4∶4如果平衡的话，不标准的就在另外的那组4个。

第二步从那组中，拿出2个球，和两个标准的球上天平称，如果平衡，就在剩下的2个球。

第三步，那两个球拿出一个和标准的称。平衡的话，不标准的就是剩下的那个，不平衡的话，就是上秤的这个。

回到第二步，如果不平衡，不标准的球就是在上秤的这两个里面，重复第三步。从两个球里找，不标准的。

现在讨论4∶4不平衡的情况，剩下的一组那4个都是标准的，一会要用这些标准的球参考。

第一步，4∶4不平衡。

第二步，从较重的那组拿出3个球，放到一边。再把较轻的一组拿出3个放到较重的那组。现在较轻的那组剩一个可能较轻（不标准）或者标准（因为不知道不标准的是较轻还是较重）的球。拿三个标准的球放到较轻这端。会出现3种情况，1，天平保持原样，2，平衡，3，天平高低反过来。

第三步，从第二步的结果入手。

1第二步结果如果天平保持原样，那说明从较轻拿到较重的那三个球和新拿进去的标准的那三个球重量一样，所以不标准的球是较重组被拿出三个球后剩下那个和较轻组被拿出三个球后剩下那个，2个球里找一个，用一个标准球一称就知道了。

2第二步结果如果天平平衡，说明这8个球都是标准的，那不标准的就是拿出去一边的那三个球。因为那三个球是在较重的一边拿出去的，可以推出质量不一样的球是较重的，3个球里面找一个较重的球，一步就出来了。

3如果天平高低反过来，原来较轻的一段剩下的那个是可能较轻的标准的球，现在较轻的一端变成较重，说明剩下的那个是标准的球。同理较重一端剩下的那个也是标准的球。（因为他原来较重，现在较轻了，如果他不标准，那他就是重于标准的球，那天平不会发生变化反过来。）说明不标准的那个球在较轻一端拿到较重一端的那三个球里面，因为这三个球在本来较轻的那一端，说明不标准的球比标准球轻，3个球里找一个较轻的球，一步就好了。