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第7章

消去z,可得7x+4y=100,因此y=100-7x4=25-7x4。由于y表示母鸡的只数,它一定是正整数,因此Χ必须得4的倍数。我们把它写成:x=4K(KN)。于是y=25-7K。代入原方程组,可得z=75+3K。把上面三个式子写在一起有:

x=4Ky=25-7Kz=75+3k

在一般情况下,当K取不同的数值时,可得到x、y、z的许许多多组不同的数值。但是对于上面这个具体问题,由于YN,故K只能取1、2、3三个数值,由此得到本题的三种答案。

百羊问题

百羊问题是出自中国古代算法《算法统宗》中的一道题。

这个问题说的是:“牧羊人赶着一群羊去寻找长得茂盛的地方放牧?

有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说:“你赶来的这群羊大概有一百只吧?”牧羊人答道:“如果这一群羊加上一倍,再加上原来这群羊的一半,又加上原来安群羊的四分之一,连你牵着的这只肥羊也算进去,才刚好凑满一百只。”谁能知道牧羊人放牧的这群羊一共有几只?

根据题意,我们可设这群羊共有x只,则x+x+12x+14x+1=100,解这个方程得:X=36,也就是牧羊人放牧的这群羊共有36只。

“农妇卖蛋”

“农妇卖蛋”是一个经典问题。

这个问题说的是:一农妇去市场卖鸡蛋,第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个;第二次又卖去剩下鸡蛋的一半又半个;第三次卖去前两次卖后所剩下鸡蛋的一半又半个,最后又卖去所剩下鸡蛋的一半又半这时鸡蛋恰好卖完,问农妇原有多少鸡蛋许多数学家爱好者对这个问题十分感兴趣,并给出了许多解答方法,但多数方法较为繁琐。瑞士着名的数学家欧拉对这个问题给出了一个别具一格的解法:设第三次卖完后所剩(第四次卖去)的鸡蛋为1+05,第三次卖去的鸡蛋为(1+05)×2=3,第二次卖完后所剩鸡蛋数应为:(3+05)×2=7(个),因此,农妇原有鸡蛋数为:(7+05)×2=15(个)

我们从欧拉对上述问题得到启发:有些数学问题,如果按正向思维去考虑问题,有时难以入手或根本无法获解,但若能根据问题提供的条件,进行逆向思维去考虑,则有获解的希望。欧拉解农妇卖蛋问题正是这种逆向思维方式的具体体现。

摆满棋盘的麦粒

在印度,有一个古老的传说:“当时舍罕王打算重赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。宰相请舍罕王在棋盘的第一个小格内赏给他一粒麦子,在第二个格子内赏给他2粒麦子,第一个格赏给他22=4粒麦子……照此下去,每一格内的麦子都比前一小格的加一倍。舍罕王认为这样摆满棋盘上所有64格的麦粒也不过一小袋,就答应了宰相的要求。可是当宫廷数学家计算了这个数目之后,才发现整个国家仓库里的所有麦子全部给宰相还相差很多,甚至在全世界的土地上也不可能收获这么多的麦子。

这是怎么回事呢?这是一个等比数列(也称几何级数)求前64项和的问题。

根据等比数列求前几项和的公式:

Sn=a1(qn-1)q-1,(其中a1是等比数列an的第一项,q是公比,n为项数)而在该题中,a1=1,q=2,n=64,则:

S64=1×(264-1)2-1=264-1=18446744073709551615

这个数字是非常大的。可见,古印度在当时就有了几何级数的思想。

在中国两千多年前的《易经》、《九章算术》等着作中,都包含了等比数列的内容。

摸球的奥秘

在一些地方常有人经营这样的“游戏”,经营人手持一个布口袋。口袋里有20个同样大的玻璃球,其中10个蓝球,10个红球,由你任意摸10个,当你摸出的球两种颜色的比为:

10∶0赢300元

9∶1,赢100元

8∶2,赢30元

7∶3,赢2元

6∶4,输10元

5∶5,赢1元

初看,似乎摸球人很占便宜,可以赢5种比值,而经营者只赢1种,摸球的人赢的数额又分别为300元、100元、30元和1元。其实不然,摸球人一般会遇到失败。是否其中有诈?通过仔细观察,发现布袋里的玻璃球并无异样。经营者甚至会让摸球人自己拿着布袋子摸,结果往往又遭失败。

这里的奥秘在哪里呢?

我们知道,在自然和社会现象中,有这样一类事件,它在相同条件下由于偶然因素的影响可能发生,也可能不发生,这类事件叫随机事件。对一个随机事件做大量实验时发现,随机事件发生的次数与试验次数的比总是在一个固定数值附近摆动,这个固定数值就叫随机事件发生的概率,概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。例如:做大量抛硬币的试验中,正面向上和反面向上的次数大致相等,各占总次数的12左右。12就是硬币正面向上(和反面向上)这一事件的概率。

在上述摸球的“游戏”中,摆摊人所列出的几种比所产生的概率是不同的,分别为:

10∶09∶18∶27∶36∶45∶5192378100923782025923781440092378441009237831752923780001%011%219%1559%477%347%

由上表可以看出,6∶4发生的可能性最大,10∶0出现的可能性最小。他把最小的让给摸球人,价格定得很高,自己挑了个概率最大的,定了中价,5∶5的概率排在第二位。为了避免摸球人总是失败,经营者把这个让给摸球人,但价格定的最低,对摸球人赢的几种情况,概率越小,定价越高。

如果按概率的数值计算,你摸92378次,则可以赢到,300×1+100×100+30×2025+2×14400+1×31752=131602(元),而应输掉44100×10=441000(元),结果摸球人将输掉441000-131602=309398(元)

显然,经营者在不捣鬼的正常情况下,可以赢到30多万元。

摸球“游戏”是一种赌博行为,但利用的是数学知识,可见数学知识无处不在。如果我们掌握了这些知识,就不会上当受骗了。

巧解九连环

外国文献中把九连环叫做“ChineseRing”,世界上一致公认它是人类所曾发明过的最奥妙的玩具之一。

九连环不知道是什么时候发明的,由于年代久远,缺乏史料,许多人都认为它大概来自民间。十六世纪的大数学家、在普及三次方程解法中作出了卓越贡献的卡尔达诺在公元1550年(相当于我国明朝中叶)已经提到了九连环。后来,大数学家华利斯对九连环也作了精辟的分析。在明清二朝,上至所谓“士大夫”,下至贩夫走卒,大家都很喜欢它。

九连环一般都用粗铅丝制成,现在从事此道的民间艺人已经寥若晨星,我们只好自己动手来做一个。它共有九个圆环,每一个环上都连着一个较细的铅线直杆,各杆都在后一环内穿过,插在白铁皮上的一排小孔里。杆的下端都弯一小圈,使它们只能在小孔里上下移动,但脱不出来。另外再用粗铅丝做一个双股的钗。

玩这种游戏的目的是要把九个环一个扣住一个地都套到钗上,或者从钗上把九个环都脱下来。不论是套上或脱下都不容易,要经过几百道手续,还得遵循一定的规律,用数学的行话来说,就是有一套“算法”。

先介绍两种基本动作。如果要把环套到钗上去,先要把环从下向上,通过钗心套在钗头上,这一个动作除了第一环随时可做外,其余的环因为有别的环扣住,都无法套上。但有一点要注意,如果前面有一个邻接的环已经套在钗上,而所有其他前面的环都不在钗上时,那么,只要把这一个在钗上的环暂时移到钗头前面,让出钗头,后一环就可以套上去,再把前一个恢复原位。

至于环从钗上脱下的基本动作,只要把上面的“上环”动作倒过来做就行了。

懂了这两种基本动作之后,我们还要多加练习,要做到不论套上或脱下都能运用自如。现在可以看出,如果只要套上第一环,只须一步手续就行了。要套上第一、二两环,可先上第一环,再上第二环,因此,一共需要二步。如果要上三个环呢。手续就更麻烦了。必须先上好第一和第二两个环,还得脱下第一环,才能套上第三环,最后再上第一环,这样,一共需要五步。(为了统一起见,每移动一个环算作一步。)当环数更多时,手续必然更繁,如果一旦弄错,就会乱了套。幸而我国古代的研究家们早就考虑到了,他们根据古算的特色,创造了三句口诀:“一二一三一二一,钗头双连下第二,独环在钗上后环。”(最后五步是一二一三一;脱环时最先五步是一三一二一。)

换句话说,移动的手续是,每八步可作为一个单元,其中的前七步一定是“一二一三一二一”,至于到底应“上”应“下”呢,这可依自然趋势而定。即:原来不在钗上的应“上”,原来在钗上的应“下”。至于第八步则要看那时钗头的情况而定:如果有两环相连时,一定要脱下后一环;如果钗头只有单独的一环时,一定要套上后一环。以上就是口诀的意思,“算法”的全部奥妙就都在这里了。根据这三句口诀,解开或套上九个环,虽然有341步之多,也不费吹灰之力了。据我国古代小说记载,民间老艺人把九连环全部解开来,大约只要五分钟左右。

1975年,在国外出版了一本专书,专门讲各式各样的数列。由于电子计算机的飞速发展,数学里有一种“离散化”倾向,因此,这本书的出版,被认为是前所未有的,得到了各方面的好评。在这本书里,也收罗着下面的数列:

1、2、5、10、21、42、85、170、341……

起先大家都莫名其妙,不知道它是干什么用的,因为它既非等差数列,又非等比数列,也不是一些有名的数列。但是,后来一经指点就恍然大悟了,原来它就是“九连环”数列。第一项的1,表明解开一个环只要一步,第二项的2,表明解开二个环需要二步……等等以此类推。由此可见,解开九个环,一共需要三百四十一步。

数列里头的各个数,到底有什么规律?是否非得死记不可?经过专家一研究、一分析,谜底终于揭穿了。原来,如果我们用un代表上述数列中的第n项,那么,就可以得出下面的公式:

当n是偶数时,un=2un-1。

(例如,解开八个环需要的步数170,正好是解开七个环需要的步数85的二倍。)

当n是奇数时,un=2un-1+1。

(例如,解开九个环需要的步数341,等于解开八个环需要的步数170的二倍再加上1。)

这样一来,我们有了u1,就能推出u2,有了u2,就能推出u3……正象顺藤摸瓜,这种方法就叫“递归”,是数学里一个非常重要的概念。

上面的方法虽然好,有人却仍旧感到美中不足。他们问,如果要解开几个环,到底需要几步?有没有一个直接的计算公式呢?用数学的行话来说,就是要求出一个用n来表示un的函数关系。经过前人的研究,这个式子也是有的,即:

un=13(2n+1-1)当n为奇数时;13(2n+1-2)当n为偶数时;

于是,九连环的问题就圆满解决了。

奇怪的遗嘱

古时候,人们曾将一些动物奉若神明。例如,古埃及人将猫尊为神圣的月亮和富裕女神,顶礼膜拜。谁家的猫死了,全家人都得剪掉头发,剃光眉毛,以示哀悼;而谁要是杀死了猫,即使是无意的,也会被处以极刑。

无独有偶,印度人也有类似的习俗。不过,他们顶礼膜拜的不是猫,而是牛,即使牛横冲直撞,践踏庄稼,人们也不敢干涉。至于有谁屠宰牛,则无异于犯下了弥天大罪。

由于这种奇特的习俗,印度人民中流传着一个非常有趣的故事。

相传在非常遥远的古代,一位老人害了重病,临终前,他将3个儿子全都叫到床前,立下了一份遗嘱。遗嘱里规定3个儿子能够分掉他的17头牛,但又规定:老大应得到总数的1/2,老二应得到总数1/3,而老三只能得到总数的1/9。

老人去世后,兄弟3人聚在一起商量如何分牛。起先,他们以为这是一件非常容易的事,可是,他们商量来,商量去,商量了老半天,也没有找出一种符合老人规定的分法。因为17的1/2是812,17的1/3是523,17的1/9是189,这3个数都不是整数!

而且,这种分法需要活活杀死2头牛,实际上是根本行不通的。

其实,即使是偷偷屠宰了2头牛也无济于事,因为812+523十189=16118并没有能将17头牛全部分完,还会余下1头牛的17/18。剩下的部分又该怎么办呢?这份遗嘱能够执行吗?

兄弟3人解决不了这个问题,去向许多有学问的人请教,大家聚在一起商量了老半天,也没有找出一种符合老人规定的分法。

一天,有个老农牵着1头牛从这家门口经过,听说了这件事,他想了一会儿,开口说道:“这件事其实很容易。这样吧,我把这头牛借给你们,你们按总数的1/2、1/3、1/9去分,分完后再把这头牛还给我就行了。”

兄弟3人决定按老农的分法去试一试。这时,他们手中共有18头牛,老大分1/2,得9头;老二分1/3,得6头;老三分1/9,得2头,真是巧极了,这么一来,他们刚好分掉了自己家的17头牛,而且还余下1头,正好原封不动地还给那位老农。

这个难住了那么多人的数学问题,就在这变魔术似的一借一还中,干脆利落地给解决了。

这是怎么回事呢?原来,那位聪明的老农弄清了遗嘱的秘密。老人规定3个儿子各得17头牛的1/2、1/3、和1/9,实际上,也就是要他们按这个比例去分配。把1/2∶1/3∶1/9化成整数比是9∶6∶2,而9+6+2又正好等于17,所以,按照9、6、2这3个数字去分配,就正好符合遗嘱规定的分法。

那么,老农为什么又要借给兄弟3人1头牛呢?瞧,12十13十19=1718,这个算式提醒人们,按照遗嘱的规定去分牛,实际上是在分配18份中的17份。老农借出1头牛后,总数达到了18头,而18头的1/2、1/3和1/9正好是整数,他的分法就比较容易为大家所接受。

很清楚,无论借牛与不借牛,结果都是一样。当然,老农借出1头牛后,他就用不着多费口舌去解释其中的道理了。

“盈不足术”

如果有人出这样一道题:4个人合买一件12元的礼物。问每人应出多少钱?你会毫不费力地回答:每人应出3元。从代数的角度来看,这只不过是解方程4x=12而已,非常简单。但令人惊奇的是,象px-q=0这种简单的一次方程问题,在古代却要大费周折,用相当麻烦的办法来解决。

在中世纪的欧洲,为了解px-q=0这种类型的问题,有时要用到所谓“双设法”,即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是:设a1和a2是x值的两个猜测数,b1和b2是误差,这时有a1p-q=b1,(1)a2p-q=b2,(2)(1)-(2)得p(a1-a2)=b1-b2,p=b1-b2a1-a2。

(1)×a2-(2)×a1,得-q(a2-a1)=a2b1-a1b2,

即,q=a2b1-a1b2a1-a2。

因此,x=qp=a2b1-a1b2b1-b2,

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