0168之谜
将长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部的比等于另外一部分对于这部分的比。即x∶L=（L-x）∶x，这样的分割称为“黄金分割”，又叫“黄金律”、“中外比”。
解上述比例，可求得x/L=0168。
自古希腊始，人们就认为1∶0168这种比在造型艺术中具有美学价值，如在工艺美术和日常生活用品的长和宽的设计中运用这种比例易引起美感。我国着名数学家华罗庚运用“黄金分割”创造了优选法，对促进我国的现代化建设起了十分重要的作用。
黄金数
用代数解方程的知识可以求得中外比的比值。
设线段全长ＡＢ＝ａ，大段ＡＰ＝ｘ，则小段ＢＰ＝ａ－ｘ，
于是，a-xx=xa
即ｘ２＋ａｘ－ａ２＝０
x-a±5a2
舍去负根，得x=5-12a
因此，xa=5-12a
这就是说，中外比的比值为5-12
中外比的比值，叫做“黄金数”，用记号ｇ表示。请记住：
ｇ＝5-12。
由于5=2236……所以ｇ＝０６１８。
黄金分割法
２０００多年前，古希腊的柏拉图派学者欧多克斯，首先使用规尺分已知线段为“黄金分割”，他的作法如下：
１过Ｂ点，作ＢＣＡＢ，而且使ＢＣ＝１２ＡＢ；
２连ＡＣ；
３以Ｃ为圆心，ＣＢ为半径作圆弧，交ＡＣ于Ｄ；
４以Ａ为圆心，ＡＤ为半径作圆弧交线段ＡＢ于Ｐ，则Ｐ点分ＡＢ成黄金分割。
这个作法十分简便，证明也很容易。
设ＡＢ＝ａ，则ＢＣ＝a2，由勾股定理可知：
AC=AB2+BC2=a2+(a2)=52a；
AD=AC-DC=52a-a2=5-12a；
AP=AD=5-12a。
这就证明了，Ｐ点分ＡＢ成黄金分割。
这个作图方法，叫做“黄金分割法”，Ｐ点为“黄金分割点”。
辗转分割
设点Ｐ１将线段ＡＢ分成黄金分割，即ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ；
取ＡＢ中点Ｏ，作点Ｐ１关于点Ｏ的对称点Ｐ２，则点Ｐ２有下述重要性质：
１．点Ｐ２也将线段ＡＢ分成黄金分割。
这是因为：
ＡＰ２＝ＢＰ１，ＢＰ２＝ＡＰ１，
ＡＰ２∶ＢＰ２＝ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，
所以点Ｐ２也分ＡＢ成黄金分割由此可知，每条线段有两个黄金分割点。
２．点Ｐ２还分线段ＡＰ１成黄金分割。
证明如下：由于ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，而ＡＰ２＝ＢＰ１，
所以ＡＰ２∶ＡＰ１＝ｇ，这就说明Ｐ２分ＡＰ１成黄金分割。
３．作Ｐ２，关于线段ＡＰ１中点的对称点Ｐ３，则ＡＰ３将ＡＰ２黄金分割。如此继续利用对称，辗转相割，可以得到一系列的黄金分割点。
黄金矩形
国外，有位画家举办过一次画展，所有的画面都是不同比例的矩形，有的狭长，有的正方。据统计数字表明，观众最喜爱的宽与长之比为ｇ的矩形画面。人们称这种矩形为“黄金矩形”。
黄金矩形有个奇特的性质，如果矩形ＡＢＣＤ是黄金矩形，即ＤＡ∶ＡＢ＝ｇ，在它的内部截去一个正黄金矩形。这个过程继续下去，还可以得到一系列的黄金矩形。这个美妙的结论，请你自己证明吧。
神秘的“5”
“５”这个数，在日常生活中到处可见，钞票面值有５元、５角、５分；秤杆上，表示５的地方刻有一颗星；在算盘上，一粒上珠代表５；正常情况下，人的每只手有５个手指，每只脚有５个脚趾；不少的花，如梅花、桃花都有５个花瓣；海洋中的一种色彩斑斓的无脊椎动物海星，它的肢体有５个分叉，呈五角星状。
总之，“５”这个数无所不在。当然数学本身不能没有它。
在数学上，只有５种正多面体——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体与正二十面体。５阶以下的有限群一定是可交换群；一般的二次、三次和四次代数方程都可以用根式求解，但一般的五次方程就无法用根式来求解。５还是一个素数，５和它前面的一个素数３相差２，这种差２的素数在数论中有个专门名词叫孪生素数。人们猜测孪生素数可能有无穷多，而３和５则是最小的一对孪生素数。
前些年，美国数学家马丁·加德纳曾描述过一个有趣的人物——矩阵博士。
这位博士是个美国人，他的妻子是日本人，但早已亡故，只留下一个混血种的女儿伊娃。他们父女二人相依为命，博士常带着女儿漂洋过海，闯荡江湖，在世界各地都有他们的足迹。
博士对数论、抽象代数有许多精辟之见。虽然他说的话乍一听似乎荒诞不经，可拿事实去验证他所说的离奇现象与规律时，却又发现博士的“预言”都是正确的。
有一次，博士来到印度的加尔各答。他说古道今，大谈“无所不在的５”。
博士指出，在印度的寺庙里，供奉着许多降魔金刚，信仰这些金刚的教派之中心教义一共有５条，其中一条是所谓宇宙的永劫轮回说，即认为宇宙经过５百亿年的不断膨胀后，又要经过５百亿年的不断收缩，直到变成一个黑洞，然后又开始下一轮的膨胀与收缩。如此周而复始，循环不已。降魔金刚手中，还拿着宇宙膨胀初期的“原始火球”呢！在这里，博士曾几次提到５这个数字。
向克斯曾把π的小数值算到７０７位，以前这被认为是一项了不起的工作。自从近代电子计算机发明以后，他的工作简直不算一回事了。现在π值的记录一再被打破，最新的记录是１００万位，这是由法国人计算出来的。有意思的是，矩阵博士在这项计算以前，就作了大胆的预言，他说第１００万位数必定是个５，结果真是如此！这究竟是用什么办法知道的呢？博士却秘而不宣。
循环往复的周期现象，在科技史上曾起过重大作用，门捷列夫发现元素周期表，就是突出的一例。下面请读者来看一下与５有关的有趣现象。
请任选两个非０的实数，如π与７６，并准备一个袖珍电子计算器。假定计算器数字长八位，那么，π的八位数值是３１４１５９２６。现在请把第二数７６加上１作为被除数，把第一个数π作为除数做一下除法，即：
（７６＋１）÷３１４１５９２６＝２４５０９８６１我们把显示在计算器上的２４５０９８６１称为第三数，然后再重复上述过程，把第三数加上１，把第二数作为除数，这就得到了第四位数：０３３５６５６，依次类推，可得到第五数、第六数……
也许读者会认为，这些数字都没有规律可循，照这样下去，真是“味同嚼蜡”。然而，当算到第六数时，你将会大吃一惊，原来第六数是３１４１５９３１，略去这一数字后面二位因计算时四舍五人造成差异的小数，它竟和第一数的π相等，π又回来了！如果你还不太相信，不妨再挑选一些整数，结果保证令人满意。我们可以得出结论，５是一个循环周期，第六数与第一数完全一样，第七数与第二数完全一样……要知道，这一个秘密最初也是矩阵博士想到的呢！
我们且不去计较矩阵博士是否真有其人，可是这神奇的、无所不在的５，却不能不引起人们的极大兴趣，引诱人们去探索和研究。
最大的质数是多少？
小朋友们，你们在学校学习数学吧，有没有觉得数学很有趣呢？也许数学学起来有点难，但是很有用哦，比如说，学好了数学，你们陪爸爸妈妈到超市买东西的时候，就可以帮他们算价钱，看看怎样买更便宜，能替爸爸妈妈省下不少钱啦！
在学校里，数学老师会教小朋友们学习许多数学知识，知道自然数就是像1、2、3……这样的能数出来的数。那么质数是什么呢？质数是一类特殊的自然数，它们只能被自己和1整除。比如说，最小的质数是2，只能被它自己，也就是2，和1整除。接着有3、5、7、11等等，很多很多，小朋友们可以问一下爸爸妈妈或者你们的数学老师，他们会告诉你们的。
质数是一类很有意思的自然数，所以许多数学家都很喜欢研究它们。早在2500年前，古希腊有位着名的数学家欧几里德就仔细研究了质数。他证明质数是有无限多的，也可以无限大的，并且有些的质数可以是2n-1。看到这里，小朋友们一定很疑惑了，究竟这个2n-1是什么意思呢？小朋友们看到2的右上角有一个n对吧？这个拼音字母n可以代替任何的自然数，可以是1、2、5、12、38、59、104等等，随便你能数出来的任何一个。2n的意思就是有n个2相乘。比如说22就是2个2相乘，是4；23就是3个2相乘，就是2×2×2，是多少呢，对了，是8；算个难一点，25是多少呢？就是2×2×2×2×2=？背过九九表的小朋友也一定能算出来是32。这样的话，就不难理解2n-1了，是n个2相乘之后再减1。比如2n-1里n代替2的时候，22-1等于3；n代替3的时候，23-1等于7，3和7都是质数。有兴趣的小朋友可以耐心算一算，看看是不是。
说了这么多，那么究竟现在所知道的最大的质数是多少呢？科学家们算出来是224036583-1，就是说24036583（读作：两千四百零三万六千五百八十三）个2相乘之后再减1。这个数目非常非常大！举个例子来说，地球上每一粒砂子数一遍大概是2120，而16000×2120×2120×2120才大致跟这个质数相当，这样多数目的砂子就算是填满整个宇宙也不过用了很少很少的一部分。
小朋友们，我们人类存在于宇宙中，相比起宇宙来说，是相当的渺小；而我们人类运用的数字，却可以比宇宙巨大得多。数学是这样的富有魔力，不是么？
为什么要用60进制
由于生产、生活的需要，古代人对天文、历法进行了大量的研究工作，这样，就不得不牵涉到时间和角度了。如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。
公元前２１００年左右，巴比伦时期的着作已经表明：当时的人们不仅以３６０天作为１年，而且把圆分成３６０度，把１度分成６０分，把１分分成６０秒。这样，１／２，１／３，１／４，１／５，１／６，１／１０，１／１２，１／１５，１／２０，１／３０，１／６０度（分）都可以化为整数了。这给研究天文和历法带来了极大的方便。
我们知道，６０进位制与１０进位制在本质上是相同的。但由于１０进位制有其固有的缺陷，如１０不能被３、４、６整除，而６０进位制就不存在这些问题。
正因为６０进位制（严格说来，是６０退位制）有自己的优点，所以也就一直沿用到今天。
现在，数学、物理、航运等科学技术中仍然使用６０进位制。数学上把“度”、“分”、“秒”分别记作“°”、“′”、“″”，一律标在数的右上角。时间单位“时”、“分”、“秒”也采用６０进位制。如７时３５分２０秒，记作７：３５′２０″，这里，用“：”号代替了度的符号“°”。
三角形的108塔群
108塔位于宁夏青铜峡水库西面峻峭的山崖上，因塔数而得名，因此又称百八塔。百八塔座西朝东，背山面水，随山势凿石分阶而建，自上而下，按1、3、5、7……19奇数排列，构成了一个等边三角形的大型塔群。塔的底座为砖砌八角形顶弥座，塔身似覆钵，塔顶如宝珠，高2米左右，是一种实心喇嘛塔。最上一塔，形制特大，以下逐层按比例缩小，远望能观塔群全貌，很符合视线的透视原理，体现了古代匠师的聪明才智，真称得上是别具一格。传说，这里曾是穆桂英的“天门阵”、“点将台”。其实，108塔是佛家惯用之数，念佛108遍，数珠108颗，晓钟108响。这里的108塔，估计与佛教密宗《金刚顶经》中昆卢庶那108尊法身有关。但真正的缘由是什么，至今还是一个谜。
魔术数
１９８６年全国初中数学竞赛题第一题第３小题提到魔术数，原题是：将自然数Ｎ接写在每一个自然数的右面，如果得到的新数都能被Ｎ整除，那么Ｎ称为魔术数，在小于１３０的自然数中，魔术数的个数是。
乍看起来，问题较棘手，但认真分析，并不难解决。
大家在理解魔术数定义时，就注意这几个字：“接写”、“每一个”（即任何一个），“都能”。
例如，把偶数２接写在任何一个自然数右面得到的新数都是偶数，都能被２整除，所以２是魔术数。
怎样求魔术数呢？
设ａ为魔术数，把ａ接写在任何一个自然数ｘ的右面得到的新数ｘａ。
１若ａ为一位数，则ｘａ＝１０ｘ＋ａ能被ａ整除，即对任何一个自然数ｘ，１０ｘ都能被ａ整除，就是１０应是ａ的倍数，则ａ只能是１，２，５共３个。
２若ａ为二位数，则ｘａ＝１００ｘ＋ａ能被ａ整除，１００应是ａ的倍数，ａ只能是１０＝１×１０，２０＝２×１０，２５，５０＝５×１０，共４个。
３若ａ为三位数，则ｘａ＝１０００ｘ＋ａ能被ａ整除，１０００应是ａ的倍数，ａ只能是１００＝１×１０２，１２５，２００＝２×１０２，２５０＝２５×１０，５００＝５×１０２，共５个。
同理，若ａ为四位数，ａ只能是１０００＝１×１０３，２０００＝２×１０３，５０００＝５×１０３，１２５０＝１２５×１０，２５００＝２５×１０２。
一般地，当ａ为ｎ位数（ｎ３）时，魔术数可用以下形式表示：
１×１０ｎ－１，２×１０ｎ－１，５×１０ｎ－１，２５×１０ｎ－２１２５×１０ｎ－３。
这样，我们便可以求出小于任何给定的自然数的魔术数及其个数。小于１３０的魔术数共９个：１，２，５，１０，２０，２５，５０，１００，１２５，小于１０的魔术数为３个，小于１００的魔术数为７个，小于１０００的魔术数为１２个，小于１００００的魔术数为１７个……
我们观察ｎ位数的魔术数的个数：
当ｎ＝１时为３个；
当ｎ＝２时为４个；
当ｎ＝ｋ（ｋ３）时总是５个。
所以，ｎ２时，ｎ增加１，ｎ位数的魔术数的个数就增加５个。或者说，ｎ位数（ｎ２）以内的魔术数的个数正好组成公差为５的等差数列：７，１２，１７，２２，２７，３２……
最大的和最小的
（１）三个１，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数是什么？能写成的最小的数是什么？
（２）四个１，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数和最小的数是什么？
（３）三个２，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数和最小的数是什么？
（４）三个４，不另加任何数学运算符号，能写成的最大的数和最小的数是什么？
你在回答这些问题时会发现，它们都是需要仔细想一想才能正确回答的问题。
（１）很明显，１１１是最大数的，１１１＝１是最小数。
（２）如果你从（１）的经验出发，以为１１１１是最大数，就错了。这里最大的数是１１１１。事实上，１１３＝１３３１＞１１１１，而１１１１比１１１１更要大得多。最小的数当然还是１１１１＝１。
（３）不要以为２２２是最大数，相反，它却是最小的数。这里，最大的数是222＝４１９４３０４。它比２２２或２２２都要大得多。
（４）你根据（３)可能以为４４４是最大的数，这又错了。这里的最大的数却是。因为444＝４２５６。显然４２５６４４４（“”表示远远大于）。最小的数是４４４。
现在，你能不加任何运算符号，写出三个３，三个５，三个６……的最大数和最小数了吗？
“1+1”
１７４２年６月７日，当时还是中学教师的哥德巴赫，写信给当时侨居俄国彼得堡的数学家欧拉一封信，问道：“是否任何不小于６的偶数，均可表为两个奇素数之和？”因为哥德巴赫喜欢搞拆数游戏。２０几天后，欧拉复信写道：“任何大于６的偶数，都是两个奇素数之和。这一猜想，虽然我还不能证明它，但是我确信无疑地认为这是完全正确的定理。”这就是一直未被世人彻底解决的着名的哥德巴赫猜想，也称哥德巴赫-欧拉猜想。数学家简称这个问题为（１，１），或“１＋１”。命题简述为：
（Ａ）每一个６的偶数都可表为两个奇素数之和；
（Ｂ）每一个９的奇数都可表为三个奇素数之和。
显然，命题（Ｂ）是（Ａ）的推论。因为任何一个奇数，如减掉一个奇素数，当然就是偶数了。此时如能证明命题（Ａ），当然命题（Ｂ）就得证了。但是，这两个问题没有可逆性。命题（Ｂ）在本世纪３０年代，前苏联科学家依·维诺格拉朵夫创造了一系列估计指数和重要方法，从而使他在１９３７年，间接地证明了命题（Ｂ）。
１９３０年，会尼列尔曼用密率法证明了每一个自然数可以表为不超过ｋ个素数的和，这时Ｋ是一个固定的自然数。开始定出的ｋ＝２＋１０１０，很快就有人把它降为ｋ＝６９。利用密率法得到的最好结果是ｋ＝１８，即每一个自然数可以表为１８个素数的和。这里说的每一个自然数，不是充分大的自然数。这是密率法独具的优点，用其他方法（圆法和筛法）只能得出关于充分大的自然数的结论。
１９３７年，前苏联数学家维纳格拉道夫用圆法证明了每个充分大的奇素等于３个素数的和。随后有人证明这里的“充分大”可用“＞ｅＣ1６·０３８”来代替。这个数超过４００万位，是一个非常巨大的数。现在这个常数已经大大缩小，但仍然是一个很可观的大数。
在２４０多年的漫长的岁月里，有人对哥德巴赫猜想进行了大量验算工作，有人曾经验算过偶数ｘ５×１８８，即ｘ在５亿以内，哥德巴赫猜想都是对的。
在此期间，有些人更想过一些办法，例如折叠法，他们将自然数比着很长的梳子上的各个齿，先将代表复合数的齿全部掰掉，剩下来的，当然都是素数。然后再把同样的梳子，颠倒过来对上，如果梳子上原有的齿为偶数ｘ个，这样将１对着ｘ－１，３对着ｘ－３……ｐ对着ｘ－ｐ，（１ｐｘ－１）。因为在ｘ较大时，不能证明是否还存在齿对着齿情况，故问题没有解决。
