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第20章 巧妙的方法

极限和无穷小紧紧相连,是无限过程的结果。要是把极限比做一曲动听的交响乐,那它的每一个乐章,都离不开无限这个主题。

π等于多少π等于多少?

你回答:π等于3.1416。

3.1416是π的近似值,π的精确值等于多少?

你回答:π是一个无理数,是一个无限不循环小数。因为无限而又不循环,所以需要没完没了地写下去,并且永远也别想把它写完。

答得很好。既然π的值需要没完没了地写下去,永远也写不完,你怎么知道π一定存在呢?

你问道:这……这是什么问题呀?

这个问题很重要。看来,你还没想到过这个问题。

整数和分数的存在是不容怀疑的。无限循环小数可以化成分数,它的存在也是不容怀疑的。

一个永远写不完、又没有循环规律的无限不循环小数,怎么能肯定它的存在呢?

仔细想想这个问题,实在有认真研究的必要。下面,我们就来谈谈这个问题。

胡同里捉鸡

不知谁家的鸡跑到胡同里来了。

忽然,从一家院子里跑出来了一个小男孩,他想捉住这只鸡。只见鸡在前面,一会儿快跑,一会儿慢走;小男孩一个劲在后面追,累得满头大汗,也没有捉住鸡。

这时候,从胡同的另一头,走来了一个小女孩,两个人一人把住一头,一步一步地逼近鸡。

当两个小孩碰面的时候,鸡无处可逃,终于被捉住了。

小胡同里捉鸡启发了我们。如果把数轴当作一条小胡同,把π当作跑进胡同里的鸡,看看我们能不能用胡同里捉鸡的办法,去捉住π这只鸡。如果能够捉住,当然就可以肯定π的存在了。

在捉π的时候,我们通过圆内接正多边形和外切正多边形,可以不断地算出π的不足近似值和过剩近似值,用这两串数把π夹在中间:

3<π<4

3.1<π<3.2

3.14<π<3.15

3.141<π<3.142

…………

如果把这两串数值画在数轴上,我们会发现这两串数越来越靠近,就像两个小孩从胡同的两头,一步一步地逼近鸡似的。既然两个小孩碰面的时候,鸡被捉住了;那么,这两串数“碰面”的时候,就应该能捉住π。

数学上已经证明,用捉鸡的方法,在数轴上捕捉实数时,一定能捕捉到一个,绝不会叫你扑空。

对于任意给定的无穷数列

x1,x2,x3,…

如果我们能够找到两列有共同极限的无穷数列:

a1,a2,a3,…的极限为M,

b1,b2,b3,…的极限也为M,

把所给的数列夹持在这两个数列之间,即

a1≤x1≤b1,a2≤x2≤b2,a3≤x3≤b3,…

那么,所给的数列一定也以M为极限,即

x1,x2,x3,…的极限为M。

这个确定极限存在的方法,是用已知去逼近未知,用处广泛,十分重要。

死胡同捉e

e和π一样是一个无理数,一样很有用。

e是怎样得到的呢?原来人们在研究无穷数列(1+11)1,(1+12)2,(1+12)3,…(1+1n)n,…时,证明这个数列肯定有一个极限存在,可是这个极限的数值等于多少呢?

观察这个数列的变化规律:

(1+11)1=(1+1)1=2

(1+12)2=(32)2=2.25

(1+13)3=(43)3=6427≈2.37

(1+14)4=(54)4=625256≈2.44……

这个数列的数值从第一项起,一项比一项大。但是,不管你怎么往下算,它的数值永远小于2.8。这就好比在一条死胡同里捉鸡。

在死胡同里捉鸡,就不再需要两个小孩了,只要一个小孩就可以把鸡捉到。2.8就好比是胡同里堵死的一端。这个数列的极限,就好比是要捉的鸡;一项一项的数值,就好比是步步逼近鸡的小孩。当鸡跑近胡同的一头,无处可逃时,也终于让小孩捉住了。

人们就是用类似死胡同里捉鸡的方法,去捕捉这个极限,发现它是个无理数。数学家用e来表示它,e=2.718281828459045…在数轴上捕捉实数,当发现一端是“堵死”的时候,只要从另一端步步逼近就可以了。

电工找断线

在具体使用两边夹逼的方法时,怎样才能找到两串数,由两边来逼近所求的值呢?使用较多的是“二分逼近法”。电工找断线,用的就是这个方法。

电线AB,不知什么地方断了。请来电工,他首先找到AB的中点C,测试一下,如果AC之间通电,断线肯定在BC中间;如果AC之间不通电,那一定是AC中间断了。假定是AC中间断了,他再找到AC的中点D,用同样的方法,找出断线是在AD之间,还是在DC之间。假定是DC之间断了,他再找出DC的中点E。这样一次一次地测试,测试的电线一次比一次短,经过几次测试,就可以把断头找出来了。

电工寻找未知点,总是把断线一分为二,然后步步逼近。现在,我们用二分逼近法来捕捉无理数3:因为12<3<22,所以3必然在1和2之间。

找到1和2的中点1.5,因为1.52=2.25<3,所以3必然在1.5和2之间。

再找到1.5和2的中点1.75,因为1.752=3.0625>3,所以3必然在1.5和1.75之间。

这样继续下去,范围越来越小,所得到3的近似值,也就越来越精确了。

当然,根据需要,采用别的分法也可以。

逼近曲边形

由曲线OB的端点B,引垂直于OX轴的直线BA,得到一个曲边三角形OAB。怎样求曲边三角形OAB的面积呢?

乍一看去,这个问题好像很难,因为没有现成的公式可用。要是我们采用小孩捉鸡的方法,去逼近曲边三角形OAB,很快就可以把它的面积求出来。

先把OA分成四等份,假设作出三个小矩形1,2,3。我们用这三个小矩形面积的和S3,来代替曲边三角形OAB的面积,相差的就是其中的斜线部分。S3可以计算出来:S3=1+2+3=A1B1×A1A2+A2B2×A2A3+A3B3×A3A=OA4×(A1B1+A2B2+A3B3)。

你可能会想,这样近似代替的误差不是太大吗?的确太大了,但是可以想办法使误差小一些。方法是把OA多分几份,比如分成十等份,作出九个小矩形。用九个小矩形面积的和S9,来代替两边三角形OAB的面积,这时相差的面积就小多了。

我们如果再多分下去,分得越多,相差的面积也越小。也就是说,所有小矩形面积的和,与曲边三角形OAB的面积越接近于相等。你看,在无限等份过程中,所有小矩形面积的极限,就是曲边三角形OAB的面积了。

在一般情况下,当我们还不知道另一边是不是“堵死”的时候,为了保险起见,我们应该从两边去逼近它。求曲边三角形OAB的面积,也可以用两边逼近法如图。

当我们等分OA的份数越来越多时,里面小矩形面积的和越来越大,外面小矩形面积的和越来越小;当里外“碰面”的时候,就捉住了曲边三角形OAB的面积这只“鸡”。

神秘的无限

在极限的基础上,建立起来了一门十分重要的数学分支叫做微积分。它专门和无限打交道。

在一般人看来,无穷、无限就是没完没了,没有尽头,没有止境。过去,有人把无限看成是神秘的、不可捉摸的东西;也有人把无限看成是崇高的、神圣的东西。诗人哈莱曾写诗颂扬无限:我将时间堆上时间,世界堆上世界,将庞大的万千数字,堆积成山,假如我从可怕的峰巅,晕眩地再向你看,一切数的乘方,不管乘千来遍,还是够不着你一星半点。

也有人觉得无限是不可理解的。德国哲学家康德,就曾经为无限苦恼过。他说,无限像一个梦,一个人永远看不出前面还有多少路要走。看不到尽头,尽头是摔了一跤或者晕倒下去。

但是,尽管是摔了一跤或者晕倒下去,也不可能到达无限的尽头。

微积分恰恰是运用这种被看作是不可理解的无限,创造出一种崭新的数学方法,为解决大量的实际问题,为科学技术的发展,作出了十分宝贵的贡献。

现在,微积分这棵参天大树,已经是枝叶繁茂,果实累累,正在为人类作出更大的贡献。

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