1.1.2力对点的力矩和对轴的力矩
大学物理课程已经说明，力使刚体绕轴转动的效应由力矩来度量。在工程中还
存在刚体绕一点转动的现象，如陀螺或汽车的操纵杆等，因此需要在更一般的意义上
讨论力矩的概念和计算。
图1.1.6力对点的力矩与对轴的力矩
设O为空间中的任意一点，自O点至力F的作用点A的矢径为r，如图1.1.6
所示。力F对O点的力矩定义为矢径r与力F的矢量积，记作MO(F)，即
MO(F)=r×F(1.1.16)
其中点O称为矩心。设θ为r与F之间的夹角。此力矩矢量的模为
MO(F)=r×F=Frsinθ=Fh(1.1.17)
其中h=rsinθ称为力臂。从几何的角度看，力矩的大小等于以力和矩心组成的三角
形的面积的2倍。当力沿着力作用线移动时不改变力矩的大小;当矩心在力作用线
上时，力臂为零，则力矩也为零。力矩矢量的方向即矢积r×F的方向。由于力对点
的矩既与力有关，也与矩心位置有关，因此力对点的矩是定位矢量。矩心相同的两个
力矩可以按平行四边形法则合成。力矩的三要素是:力矩的大小、方向和矩心的
位置。
以O为原点建立直角坐标系Oxyz，力用解析式(1.1.2)表示，力作用点的矢
径为
r=xi+yj+zk(1.1.18)
根据矢量积的性质，力矩矢可以用行列式写作MO(F)=
ijk
xyz
FxFyFz
=(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k(1.1.19)
其中基矢量i，j，k前的系数分别为力矩矢量在三个坐标轴上的投影
MOx=yFz-zFy，MOy=zFx-xFz，MOz=xFy-yFx(1.1.20)
大学物理课程中讨论了平面问题中力对点之矩的概念。从空间的角度看，平面
问题中力对点的矩实际上就是力对轴的矩，此时的力和轴处于交叉垂直状态。力对
轴的矩是力使刚体绕轴转动效应的度量。在一般情形，即力和轴交叉但不垂直的情
况下定义力对轴的矩，记为Mz(F)，z为固定轴。将力分解为与z平行和垂直两个分
力Fz和Fxy，显然，力Fz不能影响刚体绕z轴的转动。因此
Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxyh(1.1.21)
或
Mz(F)=xFy-yFx(1.1.22)
图1.1.7右手螺旋法则
式中，O为z轴上的一点，它与Fxy的作用线所确定的平
面与z轴垂直，见图1.1.6。这等价于平面问题中力对
点的矩的计算:力对轴z的矩等于该力在垂直于z轴平
面上的分力对O点的力矩。力对轴的矩是代数量，其正
负号可以按右手螺旋法则确定:四个手指顺着力的方向
去握z轴，如果大拇指的方向与轴的正向一致，则力矩
为正，否则为负，见图1.1.7。也可以这样来判定:逆着
z轴看，力使刚体绕z轴转动，逆时针为正，顺时针为负。
这两种方法是一致的。当力与轴共面时，力对轴的矩
为零。
比较式(1.1.19)和式(1.1.22)，力对点之矩与力对过该点的轴之矩存在如下
关系:
MO(F)·k=Mz(F)(1.1.23)
其中O点在z轴上。即，力对点的矩在过该点的轴上的投影等于同一力对轴的矩。
借助式(1.1.23)，计算力对轴的矩转化为计算力对点的矩及其投影。
由式(1.1.10)知，汇交力系的合力等于各分力的矢量和。将汇交点的矢径r去
叉乘式(1.1.10)两边，导出汇交力系对点的合力矩定理
MO(FR)=∑
n
i=1
MO(Fi)(1.1.24)
即汇交力系的合力FR对一点的矩等于分力Fi对该点之矩的矢量和。将基向量i，j，
k点乘式(1.1.24)，并根据式(1.1.23)，导出汇交力系对轴的合力矩定理4
Mx(FR)=∑
n
i=1
Mx(Fi)，My(FR)=∑
n
i=1
My(Fi)，Mz(FR)=∑
n
i=1
Mz(Fi)
(1.1.25)
值得注意的是，力对点(轴)的矩是力使刚体绕点(轴)转动效应的度量，但是，力
对点(轴)取矩的计算并不意味着刚体就绕该点(轴)转动。除了主动力之外，刚体的
运动状态还与约束有关。因此，力矩的计算不必局限于对可以实际绕其转动的点
(轴)进行。
前面讨论的力对点(轴)的力矩，是已知力计算对指定点(轴)的力矩，这是力矩计
算的正问题，反过来计算便是力矩计算的逆问题，后者在工程设计中有应用。下面分
别讨论逆问题两类提法。
力矩计算的第一类逆问题:已知力F和力偶M，且F·M=0，求矩心位置O。
这里的力是滑动矢量，力偶是自由矢量，力矩计算的第一类逆问题就是要求确定
矩心的位置，使得
MO=r×F=M(1.1.26)
式中r为力的作用点对矩心的矢径。由此可知，矩心和力的作用线决定的平面一定
与力偶矩矢垂直，第一类逆问题的条件满足这一要求。由于力沿力作用线移动时不
改变力对点的矩，换言之，矩心沿着与力作用线平行的线运动不改变力对点的矩，因
此，设
r=p+s
F
F
(1.1.27)
图1.1.8力对点的矩逆问题
其中p是与力F和力偶MO垂直的矢量，s为任意实数，这表明第一类逆问题的解有
无穷多。这是因为力是滑移矢量，沿着作用线移动不改变对受力刚体的作用。进行
以下计算求p
F×MO=F×(r×F)=F×(p×F)=p(F·F)-F(p·F)
=p(F·F)(1.1.28)
其中用到三重矢积的公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)，以及p与力F的正
交性前提。解得p=
F×MO
F·F
=
F×M
F·F
(1.1.29)
代入式(1.1.27)，得到矩心位置矢量为
r=
F×M
F·F
+s
F
F·F
(1.1.30)
力矩计算的第二类逆问题:已知矩心位置r和力矩MO，且r·MO=0，求力F。
把要求的力F分解成与r平行和垂直两个分量，即F=F⊥+F‖，有
r×MO=r×[r×(F⊥+F‖)]=r×(r×F⊥)=r(r·F⊥)-F⊥(r·r)
=-F⊥(r·r)(1.1.31)
由此得
F⊥=
MO×r
(r·r)
(1.1.32)
得到所求的力为
F=F⊥+F‖=
MO×r
(r·r)
+s
r
r·r
(1.1.33)
其中s为任意常数，具有力的量纲。这表明力矩计算的第二类逆问题也有无穷多解。
例1.1.2在边长为a，b，c的平行正六面体上作用有力F，如图所示，计算此力
对对角线轴OA的力矩MOA(F)。
解直接按定义计算比较困难，现利用式(1.1.23)，转为先计算力F对O点的
力矩，得
MO(F)=Fbk(a)
对角线轴OA方向的单位矢量τ为
τ=
ai+bj+ck
a2+b2+c2
(b)
因此求得对对角线轴OA的力矩为
MOA(F)=MO(F)·τ=
Fbc
a2+b2+c2
(c)
例1.1.2图例1.1.3图
例1.1.3分别计算力F对A，B，C三点的力矩。
解直接用定义计算力矩关键是要求力臂，有时这并不方便。按合力矩定理，可
以将力矩的计算转化为对分力矩的计算:
MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=(Fcosθ)c-(Fsinθ)a
MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=(Fcosθ)c+(Fsinθ)b
MC(F)=MC(Fx)+MC(Fy)=(Fcosθ)c
计算表明，用合力矩定理较直接用定义计算简单。
例1.1.4计算例1.1.1中汇交力系的合力对x1轴的力矩。已知a=30cm。
解因在例1.1.1中已经求得合力的大小和方向，可以直接计算该力对x1轴的
力矩
Mx1(FR)=Mx1(FRz)
=-(FRcosγ)a=-111.9N·m(a)
也可以按照合力矩定理，不先求合力而用分力矩来计算合力矩
Mx1(FR)=∑Mx1(Fi)
=-(F1sinθ1)a-(F2sinθ2)a
=-111.9N·m(b)
两种计算方法得到相同的结果。
