平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像，在生活中，常说抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。
基本信息
中文名：抛物线
英文名：Parabola
提出者：阿波罗·尼奥斯（Apollonius）
提出时间：古希腊时代
应用学科：数学
适用范围：解析几何
适用领域：函数
表达式：y=ax^2+bx+c
别称：圆锥抛物线曲线
术语解释
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线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。
焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。
正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。
直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。
主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。
抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。
发展历程
Apollonius所著的八册《圆锥曲线》(Conics)集其大成，可以说是古希腊解析几何学一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是Apollonius所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。
解析几何
抛物线的标准方程
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y=2px（p>0）（开口向右）；
y=-2px（p>0）（开口向左）；
x=2py（p>0）（开口向上）；
x=-2py（p>0）（开口向下）；
在抛物线y=4cx（c>0）中，焦点是F（c，0），准线l的方程是x=?c；
在抛物线y=-4cx（c>0）中，焦点是F（-c，0），准线l的方程是x=c；
在抛物线x=4cy（c>0）中，焦点是F（0，c），准线l的方程是y=?c；
在抛物线x=-4cy（c>0）中，焦点是F（0，-c），准线l的方程是y=c；
（c=焦点至顶点之距离的绝对值）
依据基础定义的公式
抛物线上任意点P(x，y)至准线ax+by+c之距离与P至焦点C(C1，C2)的距离恒等，
故得：
正在加载抛物线公式
解析式求法
以焦点在X轴上为例
知道P（x0，y0)
令所求为y2=2px
则有y02=2px0
∴2p=y02/x0
∴抛物线为y2=(y02/x0)x
光学性质
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
证明：
设P（x0，y0），PT是抛物线在P处的切线，PH⊥PT，抛物线的方程为(a>0)，焦点F坐标为（0，）
根据抛物线的定义知PF=y0+
又抛物线导数为
所以切线PN的斜率为2ax0，方程为y-y0=2ax0(x-x0)
令x=0，得
则FT=y0+
所以PF=FT，∠FTP=∠FPT
又∠FPT=∠MPN
所以∠FTP=∠MPN
MP平行于y轴
准线式方程
焦点准线式（标准方程）
焦点：F(m，n)
准线：L：ax+by+c=0
方程为：
b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0
面积和弧长公式
面积Area=2ab/3
弧长ArclengthABC
=√(b^2+16a^2)/2+b^2/8aln((4a+√(b^2+16a^2))/b)
若O(0，0)，M(x，y)是抛物线y^2=2px上两点，抛物线的弧OM的弧长
弧长L=(p/2)*{√[(2x/p)*(1+2x/p)]+ln[√(2x/p)+√(1+2x/p)]}
扩展公式
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抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0)
就是y等于ax的平方加上bx再加上c
a>0时开口向上
a<0时开口向下
c=0时抛物线经过原点
b=0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y=a（x-h）2+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程：y2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0)准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py
二次函数图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由平移得到的。
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a，b同号，对称轴在y轴左侧
a，b异号，对称轴在y轴右侧
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h，k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）。
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0，与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同号。
当a>0，与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0，所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
相关结论
A（x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在抛物线y2=2px上，则有：
①x1x2=p?/4，y1y2=-p?(要在直线过焦点时才能成立)；
(当A，B在抛物线x?=2py上时，则有x1x2=-p?，y1y2=p?/4，要在直线过焦点时才能成立)
②焦点弦长：|AB|=x1+x2+P=2P/[(sinθ)2]；
③（1/|FA|）+（1/|FB|）=2/P；
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；
⑤焦半径：|FP|=x+p/2（抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；
⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；
⑦△=b2-4ac；
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项；
⑨标准形式的抛物线在(x0，y0)点的切线是：yy0=p(x+x0)
（注:圆锥曲线切线方程中x?=x*x0，y?=y*y0，x=(x+x0)/2，y=(y+y0)/2)
⑴△=b2-4ac>0有两个实数根；
⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；
⑶△=b2-4ac<0没实数根。
