在数学中，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
基本信息
中文名：二次函数
外文名：quadraticfunction
别称：函数
表达式：y=ax?+bx+c（a≠0，c为常数)
顶点式：y=a(x-h)?+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
函数图像：抛物线
对称轴：直线x=h
常用作图方法：五点法
顶点坐标：（h，k）
历史
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达着称）在他的着作Liberembadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）
基本定义
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一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadraticfunction），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。顶点坐标[-b/2a，(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
函数性质
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1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
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2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。（可巧记为：左同右异）
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c）
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6.抛物线与x轴交点个数：
时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。当
时，抛物线与x轴没有交点。
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当
时，函数在
处取得最小值
；在
上是减函数，在
上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。
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当时，函数在处取得最大值；在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是。
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当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。
7.定义域：R
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值域：当a>0时，值域是；当a<0时，值域是。
奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。
周期性：无
解析式：
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①一般式：
⑴a≠0
⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下；
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⑶顶点：
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⑷若Δ>0，则函数图像与x轴交于两点：
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若Δ=0，则函数图像与x轴切于一点：
若Δ<0，函数图像与x轴无公共点；
②顶点式：
此时顶点为（h，t)时，对应顶点为
③交点式：
函数图像与x轴交于和两点。
表达式
顶点式
y=a(x-h)?+k(a≠0，a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1，2)和另一任意点(3，10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)?+2，把(3，10)代入上式，解得y=2(x-1)?+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h<0，k>0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h<0，k<0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象。
交点式
[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0].
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)，我们可设，然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：(韦达定理)
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
f(x)=f[x0]+f[x0，x1](x-x0)+f[x0，x1，x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0，...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数(y为截距)二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
欧拉交点式：
若ax?+bx+c=0有两个实根x1，x2，则此抛物线的对称轴为直线。
三点式
方法1：
已知二次函数上三个点，(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)。把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)?+k(a≠0，a、h、k为常数)，有：
得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
方法2：
已知二次函数上三个点，(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)
利用拉格朗日插值法，可以求出该二次函数的解析式为：
与X轴交点的情况:
当时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1，0)和(x2，0)。
当时，函数图像与x轴只有一个切点，即。
当时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数（）
函数图像
基本图像
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在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由
平移得到的。
轴对称
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二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a，b同号，对称轴在y轴左侧；
a，b异号，对称轴在y轴右侧。
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h，k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)+k（x≠0）
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定位置因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0，与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a>0，与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0，所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
