椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆在方程上可以写为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，它还有其他一些表达形式，如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点。
基本信息
中文名：椭圆
目前状况：使用中
外文名：oval-shaped
应用学科：数学、几何
几何类别：圆锥曲线
表达式：x?/a?+y?/b?=1
适用领域范围：几何计算
参数方程：x=acosθ，y=bsinθ
研究历史
阿波罗尼奥斯所着的八册《圆锥曲线论（Conics）》中首次提出了今日大家熟知的ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）等与圆锥截线有关的名词，可以说是古希腊几何学的精擘之作。
直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，是一种以太阳为其一焦点的椭圆。
定义
第一定义
正在加载椭圆
平面内与两定点
、
的距离的和等于常数
（
）的动点P的轨迹叫做椭圆。
正在加载椭圆
即：
其中两定点
、
叫做椭圆的焦点，两焦点的距离
叫做椭圆的焦距。
为椭圆的动点。
正在加载椭圆
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为
椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为
正在加载椭圆
可变为
第二定义
椭圆平面内到定点
（c，0）的距离和到定直线
：
（
不在
上）的距离之比为常数
（即离心率
，0<1）的点的轨迹是椭圆。
正在加载椭圆
其中定点
为椭圆的焦点
，定直线
称为椭圆的准线（该定直线的方程是
（焦点在x轴上），或
（焦点在y轴上））。
其他定义
根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为
，可以得出：
正在加载椭圆
在坐标轴内，动点（
）到两定点（
）（
）的斜率乘积等于常数m（-1<0）
正在加载椭圆
注意：考虑到斜率为零时不满足乘积为常数，所以
无法取到，即该定义仅为去掉两个点的椭圆。
椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。
方程
中心点为（h，k），主轴平行于x轴时，
正在加载椭圆
标准方程
正在加载F点在X轴
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：x?/a?+y?/b?=1(a>b>0)
2）焦点在Y轴时，标准方程为：y?/a?+x?/b?=1(a>b>0)
椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx?+ny?=1(m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ
标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx/a?+yy/b?=1。椭圆切线的斜率是：-b?x/a?y，这个可以通过很复杂的代数计算得到。
参数方程
x=acosθ，y=bsinθ。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解
x=a×cosβ，y=b×sinβa为长轴长的一半
极坐标
（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）
r=a（1-e?）/（1-ecosθ）
（e为椭圆的离心率=c/a）
几何性质
基本性质
1、范围：焦点在
轴上
，
；焦点在
轴上
，
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）
4、离心率：
或e=√（1-b^2/a?）
5、离心率范围：0<1
6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）
正在加载椭圆
8、
与
（m为实数）为离心率相同的椭圆。
9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。
切线法线
定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
光学性质
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
-----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。Euclid，Archimedes，Apollonius，Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专着论述其几何性质，其中以Apollonius所着的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运\行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的******，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。
相关公式
面积公式
（其中
分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或
（其中
分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
周长
椭圆周长计算公式：L=T(r+R)
T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
附椭圆系数简表：
椭圆系数简表
r/R系数r/R系数r/R系数r/R系数
0.013.9614834950.263.4189204390.513.2248562250.763.156214217
0.023.9253325090.273.406956850.523.2204157350.773.154868403
0.033.8911742230.283.3954576980.533.2161549030.783.153601776
0.043.8587916470.293.3844038030.543.2120676160.793.152411903
0.053.8280243990.33.3737769760.553.2081480.83.151296432
0.063.7987436160.313.3635599540.563.2043904110.813.150253089
0.073.7708410590.323.3537363350.573.2007894220.823.149279677
0.083.7442232650.333.3442905320.583.1973398150.833.148374067
0.093.7188080130.343.3352077120.593.1940365710.843.147534204
0.13.6945219820.353.3264737580.63.1908748580.853.146758097
0.113.6712991210.363.3180752190.613.1878500290.863.146043822
0.123.6490794550.373.3099992760.623.1849576080.873.145389514
0.133.6278081770.383.3022337020.633.1821932860.883.144793371
0.143.6074349410.393.2947668280.643.1795529110.893.144253646
0.153.5879132990.43.2875875140.653.1770324840.93.143768649
0.163.5692002380.413.2806851150.663.1746281510.913.143336742
0.173.5512557990.423.2740494590.673.1723361950.923.
