法以目差四分與日月半徑十六分相減得十二分加於日月下環高度得日心視高度即日泛高得月心視高度即月泛高次先於推日月泛高時將本處約東西經化時分西經加東經減得京師本時以其時檢航海通書日月半徑及月地半徑按二十四表二十五表加減之又於第七表高加數即日漸高半徑漸大之數加於月半徑為月視半徑次以日月半徑併之加於中距度得兩心泛距度泛高泛距者由於地徑及蒙氣差故也蓋諸曜在地平以上有蒙氣差能加其實高而日月恆星又各有地半徑差能減其實高惟月最近地故月之半徑最大大於蒙差故月之視或高低於實高而其所測之距亦與實距不同此泛高泛距之名所由立也以其由地面視之不由地心視之故也有兩曜泛高及泛距數可推兩曜實距法以地半徑驗三十四表比例對數[以日]（月泛）泛高或星泛高檢二十七表餘割對數以泛高距檢二十八表正弦對數三數相加檢三十二表度分為第一數再以地半徑比例對數月泛高餘割對數及泛距於三十一表之正切對數三數相加於三十二表度分為第二數次取三十三表得第三數以一二三數加於泛距度減去十度為兩曜實距既得兩曜實距數即可推格令平時法視所得實距在通書本日前後三時之中取前三時之距度橫行內比例對數以前三時距度與所距實得度相減為較數檢三十四表對數兩對數相減檢三十四表三時加減於前三時得測時相當之格令此時航海測太陰之通法也此外行海要術尚有他法亦以此為要而算斜弧弧夾角之異不備述也謹攷測地繪圖附卷第一法為測太陰法第一為借地平[測]（則） 法其法取弧兩邊合垂線此角無氣差與地心差也測得太陰倍高度及恆星高度太陰與星高之相距度以太陰倍高度囗紀限儀指數差折半得太陰下環高度以太陰之半徑數減之得太陰心視高數此視高數亦謂之泛高亦謂之中心高蓋從地面視之度數也與半象限九十度相減得太陰距極度恆星之高度減去經緯儀指數差視高度也與半象限相減得星距極度此譬以半象限為大圈而各減半象限其角之兩邊可知亦即其餘高度可知也次求太陰與星之相距以太陰本日視半徑分數視本日測得視高度數求加分加之為本日太陰半徑與太陰星相距為太陰星之兩心視距此消去其心差而得兩相距之真數也但其南北東西之差尚不能知必就三邊求得本角方可消去其差也法以泛距太陰及星距極數三邊相加以二約之得二分之申太陰及星距極為餘割求其對數再以二分之申減星距極數為正弦求其對數又以二分之申減太陰距極數為正弦求其對數四正弦對數相加以二約之得半角度以二乘之得角度然後改正其距天頂相距之氣差地心差太陰視天頂數加氣差減地心差得實距天頂數星視天頂相距數加氣差得實距天頂數南北之差即氣差也而地心之差為斜距欲求其改正之太陰真相距則就測月距上所言諸數為幾何度自所得之數以餘弦數改正其泛高距角度消去氣差及地平視差餘者為改正角距之實相距則泛距斜度改為正相距矣既得實距則檢通書即知此相距之時為西格令時及中北京時在三時相配之中間以比例數相配前後之三時角度對數相加與測望處之時相較化時為度即得本處之經度必以三時之中間取數通書是日平時其比例對數從九點至子正之較為○所以其第二較亦為○也此測月與他曜相距之法也
又有貝氏楚祇一式女士鐵牢之表僅存囗數不能解也謹案以上測太陰之法最繁而實不能簡省最便捷者莫如用太陰與恆星過子午線之法夫祇知月之過午線之時并過別處午線之時亦可推得經度然以恆星為準則可免儀器之差其法以子午儀測月之光邊過午線於何時設甲代之遂將通書所記近月道之一二星測其過午線於何時則此星之經度即恆星表之時也既知本表何時等於星之經度則光之經度可推後查通書載北京平時月之光邊於何時有此經度設乙代之甲乙之較即此處之經度也赫士者美人也著天文揭要曾述此法與測地繪圖測太陰恆星過子午線法同測地說繁不備具之其三測太陰衝恆星之法算法甚繁其衝掩之成因黃白二點交點退行之故蓋月黃二道平面交點為月道交點之黃道度若干復將每月測得之數相比約每月退行一度半而二交點之連線每十八年二月二十四日轉一周月之升降二交點常向西退蓋黃白二角交處不過五度九分之角且白道之平面不恆過日心而黃道之平面常過日心則日之攝力常欲令月改其道之平面過日心故改其行向日而行至過降交點後則行向相反如是屢退則升交點所居移為降交點所居之處南北易向而黃白交角五度九分大帶以內之星每十九年必屢為月所掩此一理也若月行一月一周自繞地轉其行亦每出二星之間或掩星而過因此可測其衝恆星之時而知其經度惟測太陰衝恆星之法甚為繁重測地繪圖曾從立度行船書擇其簡法亦能得經度其法先從已知本處之時刻並本處囗經度推算格令回知之平時再從行海厤書檢得太陽之赤經度太陰之極點相距與半徑數與地心差凡此各差必依法或加或減之再將其測望之視時與太陽之赤經度相加則此數之和與星之赤經度相較為星之經線相距將此數以巳命之而星之極點相距以口巳命之其赤經度以未命之改變之餘緯度以丑命之太陰之極點相距以寅命之其改正之平視半經差以辛命之其半經以呻命之再將正割三（丑（口巳））餘弦三（數與丑）與餘切三巳相加再從其和數減去二十即得十唧得申弧之正切其乘方數與三（丑巳）相同再將餘割三（丑巳）正弦三（數與丑）餘切三巳相加再從其和數減去二十即得乙弧之正切此角常為銳角如求大於巳則甲加乙等於丙弧如求小於乙則甲加乙等於丙弧再將正切丙與餘割巳與比例對數辛各相加而從其和數減十位數而得丙弧之比例數如丙弧為等用則口巳加丙等於戊弧如丙為銳角則巳減丁第於戊弧再將餘割丑餘割巳比例對數辛各相加而將其和數與口巳減下表得其改正之數而以其或正或負之號與戊弧或加或減而令和數或較數為戊則寅與戊之較為巳弧再將申與正弦戊相加將其和數減去十位即得庚弧之比例對數再加巳與呻減巳其二箇比例對數加戊弧正弧之倍數將其和之半減去十位數為辛弧之比例對數測太陰之赤經度則其庚在經線西為加數在經線東為減數初衝之時口辛為加數末衝之時口辛為減數太陰赤經度已知之時刻相配格令回知之時刻可在行海厤書將此時刻與本處之時刻相比即得本處之經度此得太陰衝恆星求經度之法也既知各求經度之法則內地作圖可細量而作細圖夫月離測經度其事甚難而法實可憑既得其法則無論在海內居陸地皆可為法以定經度矣
五星算術源流
黃炳垕
古人不究五緯句巳遲疾之故輒以順軌為吉逆行為凶超次為殃留守為變夫星之距地不知幾萬萬里也星大於地不知幾十百倍也自星視地地直渺如一粟也大地生人多於太倉稊米也五星即能以行度為災祥安得應於地哉安得應於地之某人某事哉曰土曰木曰火曰金曰水不過以色之黃白行之遲速位之高卑隨人意象為之名耳豈真能顯其相坐相剋之功用耶慨自術家妄言休咎而星學晦亦自厤家不求本原而星學愈晦漢志三統術言五步之法為推步五緯見於紀載之始其率甚疏宋人以五行生成數推順疾退留亦多不合元郭太史作授時厤定五星段目悉用實測頗為善法然猶未知緯度之南北也明太祖平元都得回回厤法始知五星各有本輪次輪為退順疾遲所由生又各有本道交道為南北緯度所由判然其法猶未密也萬厤時西洋利瑪竇入中國始知五星半徑即不同心天之兩心差多祿某漢順帝時西洋人用其四分之三為本輪半徑水星用六分之五四分之一為均輪半徑水星用六分之一厥後第谷萬厤時西洋人改定之而算法始密法詳厤象考成上編今時憲書用之 國朝康熙聞西人日葛西尼測得五星本天皆橢圓一端度闊一端度狹心不居中故也闊狹度之差即初均數之加減乃悟前此本輪均輪之象為虛設矣乾隆中蔣友仁入中國始信歌白尼明成宏正嘉時西洋人測得地為行星與諸星同繞太陽地道與星道交錯因兩動而生遲留順逆之變并悟前此次輪之象為虛設矣咸豐中偉烈亞力與李君善蘭譯譚天一書知刻白爾順治中西洋人推行星三例一曰歷時同則星日距線所過面積亦同二曰諸星行皆行橢圜道以日為橢圜之一心三曰諸行星距中日數與周時皆公比例 及攝動諸差皆確有證據益信地球繞日東行為萬世不易之定論於乎合三萬里智慧之士積二千年測算之勞始得見其本原焉星學豈易言哉
星道以日為心論
舊說五星各有本天重重包裹皆以地為心遂據太陽與諸星同環地球立算率多扞格不通之處蓋其本象不如是也厥後西人精測天象知大地亦行星之一其大與金星囗等五星與地皆繞日東行其道俱為橢圜水星距日最近行最速八十八日繞日一周金次之二百二十五日弱繞日一周地又次之一年繞日一周火又次之六百八十七日繞日一周木又次之四千三百四十日繞日一周土又次之一萬零七百四十六日繞日一周西人又測得土星之上有天王天王之上有海王亦為行星恆星最遠行最遲二萬四千九百二十三年以新定每歲東行五十二秒算繞日一周金水行道在地道環之內名內二星土木火行道在地道環之外名外三星故金水有合日之時星在日上為合伏星在日下為邊合伏 無衝日之時自地視星無時不在日左右焉土木火三星與地對衝時日在星地間自地面視之日與星同度為合與地同度時地在星日間自地面視之日與星相對為衝所謂本天者特各星所行之道耳由是行度多寡退順遲疾悉歸一公共之例不必強天以求合矣謹案歷象考成上編列古新二圖而融貫其說不言地為行時其時華人未諳新法恐駭睹聞也近日疇人家知新法之盡美海內諸君子亦多曉然於地行之有據故不妨直表其說以見本象之非同虛設爾
