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第5章 数学教学的趣味运用故事(2)

最后,用直尺将O点与C点联接起来。不难验证,直线OC已经将这个任意角分成了相等的两部分。

显然,采用同样的方法,是不难将一个任意角4等分、8等分或者16等分的;只要有耐心,将一个任意角512等分或者1024等分,也都不会是一件太难的事情。

那么,只准用直尺与圆规,能不能将一个任意角3等分呢?

这个题目看上去也很容易,似乎与两等分角问题差不多。所以,在2000多年前,当古希腊人见到这个题目时,有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……

一天过去了,一年过去了,人们磨秃了无数支笔,始终也画不出一个符合题意的图形来!

由2等分到3等分,难道仅仅由于这么一点小小的变化,一道平淡无奇的几何作图题,就变成了一座高深莫测的数学迷宫?

这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时,古希腊最伟大的数学家阿基米德,也曾拿起直尺与圆规,用这个题目测试过自己的智力。

阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P,令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角,他以这个角的顶点O为圆心,以CP的长度为半径画半个圆,使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。

然后,阿基米德移动直尺,使C点在AO的延长线上移动,使p点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动,将C、P、B三点连接起来。

接下来,阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动,使C点正好移动到O点,作直线OD。

可以检验,AOD正好是原来的角AOB的1/3。也就是说,阿基米德已经将一个任意角分成了3等分。

但是,人们不承认阿基米德解决了三等分角问题。

为什么不承认呢?理由很简单:阿基米德预先在直尺上作了一个记号P,使直尺实际上具备有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定:在尺规作图法中,直尺上不能有任何刻度,而且直尺与圆规都只准许使用有限次。

阿基米德失败了。但他的解法表明,仅仅在直尺上作一个记号,马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想:能不能先不在直尺上作记号,而在实际作图的过程中,逐步把这个点给找出来呢……

古希腊数学家全都失败了。2000多年来,这个问题激动了一代又一代的数学家,成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家,也都曾拿起直尺圆规,用这个难题测试过自己的智力……

无数的人都失败了。2000多年里,从初学几何的少年到天才的数学大师,谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分!一次接一次的失败,使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地,人们心中生发出一个巨大问号:三等分一个任意角,是不是一定能用直尺与圆规作出来呢?如果这个题目根本无法由尺规作出,硬要用直尺与圆规去尝试,岂不是白费气力?

以后,数学家们开始了新的探索。因为,谁要是能从理论上予以证明:三等分任意角是无法由尺规作出的,那么,他也就解决了这个着名的数学难题。

1837年,数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布:只准许使用直尺与圆规,想三等分一个任意角是根本不可能的!

这样,他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫,了结了这桩长达2000多年的数学悬案。

8.化圆为方问题

古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具,规定画几何图形时,只准许使用直尺和圆规,于是,从一些本来很简单的几何作图题中,产生了一批着名的数学难题。除了前面讲过的三等分角问题和立方倍积问题之外,还有一个举世闻名的几何作图难题,叫做化圆为方问题。

据说,最先研究这个问题的人,是一个叫安拉克萨哥拉的古希腊学者。

安拉克萨哥拉生活在公元前5世纪,对数学和哲学都有一定的贡献。有一次,他对别人说:“太阳并不是一尊神,而是一个像希腊那样大的火球。”结果被他的仇人抓住把柄,说他亵读神灵,给抓进了牢房。

为了打发寂寞无聊的铁窗生涯,安拉克萨哥拉专心致志地思考过这样一个数学问题:怎样作出一个正方形,才能使它的面积与某个已知圆的面积相等?这就是化圆为方问题。

当然,安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧,因为在他以后的2400多年里,许许多多比他更加优秀的数学家,也都未能解决这个问题。

有人说,在西方数学史上,几乎每一个称得上是数学家的人,都曾被化圆为方问题所吸引过。几乎在每一年里,都有数学家欣喜若狂地宣称:我解决了化圆为方问题!可是不久,人们就发现,在他们的作图过程中,不是在这里就是在那里有着一点小小的,但却是无法改正的错误,随之爆发出一阵阵善意的笑声。

化圆为方问题看上去这样容易,却使那么多的数学家都束手无策,真是不可思议!

年复一年,有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国的科学院,多得叫科学家们无法审读。1775年,法国巴黎科学院还专门召开了一次会议,讨论这些论文给科学院正常工作造成的“麻烦”,会议通过了一项决议,决定不再审读有关化圆为方问题的论文。

然而,审读也罢,不审读也罢,化圆为方问题以其特有的魅力,依旧吸引着成千上万的人。它不仅吸引了众多的数学家,也让众多的数学爱好者为之神魂颠倒。15世纪时,连欧洲最着名的艺术大师达·芬奇,也曾拿起直尺与圆规,尝试解答过这个问题。

达·芬奇的作图方法很有趣。他首先动手做一个圆柱体,让这个圆柱体的高恰好等于底面圆半径r的一半,底面那个圆的面积是πr2。然后,达·芬奇将这个圆柱体在纸上滚动一周,在纸上得到一个矩形,这个矩形的长是2πr,宽是r/2,面积是πr2,正好等于圆柱底面圆的面积。

经过上面这一步,达·芬奇已经将圆“化”为一个矩形,接下来,只要再将这个矩形改画成一个与它面积相等的正方形,就可以达到“化圆为方”的目的。

达·芬奇解决了化圆为方问题吗?没有,因为他除了使用直尺和圆规之外,还让一个圆柱体在纸上滚来滚去。在尺规作图法中,这显然是一个不能容许的“犯规”动作。

与其他的两个几何作图难题一样,化圆为方问题也不能由尺规作图法完成。这个结论是德国数学家林德曼于1882年宣布的。

林德曼是怎样得出这样一个结论的呢?说起来,还与大家熟悉的圆周率π有关呢。

假设已知圆的半径为r,它的面积就是πr2;如果要作的那个正方形边长是X,它的面积就是X2。要使这两个图形的面积相等,必须有。

X2=πr2

即X=πr。

于是,能不能化圆为方,就归结为能不能用尺规作出一条像πr那样长的线段来。

数学家们已经证明:如果π是一个有理数,像πr这样长的线段肯定能由尺规作图法画出来;如果π是一个“超越数”,那么,这样的线段就肯定不能由尺规作图法画出来。

林德曼的伟大功绩,恰恰就在于他最先证明了π是一个超越数,从而最先确认了化圆为方问题是不能由尺规作图法解决的。

三大几何作图难题让人类苦苦思索了2000多年,研究这些数学难题有什么意义呢?

有人说,如果把数学比作是一块瓜田,那么,一个数学难题,就像是瓜叶下偶尔显露出来的一节瓜藤,它的周围都被瓜叶遮盖了,不知道还有多长的藤,也不知道还有多少颗瓜。但是,抓住了这节瓜藤,就有可能拽出更长的藤,拽出一连串的数学成果来。

数学难题的本身,往往并没有什么了不起。但是,要想解决它,就必须发明更普遍、更强有力的数学方法来,于是推动着人们去寻觅新的数学手段。例如,通过深入研究三大几何作图难题,开创了对圆锥曲线的研究,发现了尺规作图的判别准则,后来又有代数数和群论的方程论若干部分的发展,这些,都对数学发展产生了巨大的影响。

9.中国剩余定理

古时候,我国有一部很重要的数学着作,叫《孙子算经》。书中的许多古算题,如“物不知数”问题、“鸡兔同笼”问题等等,都编得饶有情趣,1000多年来,一直在国内外广为流传。其中,尤以物不知数问题最为着名。

物不知数问题的大意是:“有一堆物体,不知道它的数目。如果每3个一数,最后会剩下2个;每5个一数,最后会剩3个;每7个一数,最后会剩下2个。求这堆物体的数目。”

这是一个不定方程问题,答案有无穷多组。按照现代解不定方程的一般步骤,解答起来是比较麻烦的。而若按照我国古代人民发明的一种算法,解答起来就简单得出奇。有人将这种奇妙的算法编成了一首歌谣:

三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,

七子团圆正半月,除百零五便得知。

歌谣里隐含着70、21、15、105这4个数。只要记住这4个数,算出物不知数问题的答案就轻而易举了。尤其可贵的是,这种奇妙的算法具有普遍的意义,只要是同一类型的题目,都可以用这种方法去解答。

《孙子算经》最先详细介绍了这种奇妙的算法。书中说:凡是每3个一数最后剩下1个,就取70;每5个一数最后剩1个,就取21;每7个一数最后剩下1个,就取15。把它们加起来,如果得数比106大,就减去105。最后求出的数就是所有答案中最小的一个。

在物不知数问题里,每3个一数最后剩2,应该取2个70;每5个一数最后剩3,应该取3个21;每7个一数最后剩2,应该取2个15。由于2×70+3×21+2×15等于233,比106大,应该减去105;相减后得128,仍比106大,应该再减去105,得23。瞧,只需寥寥几步,我们就算出了题目的答案。

这种奇妙的算法有许多有趣的名称,如“鬼谷算”、“韩信大点兵”、“秦王暗点兵”等等,并被编成许多有趣的数学故事。它于12世纪末就流传到了欧洲国家。

可是,13世纪下半叶,我国数学家秦九韶遇到了一个与物不知数问题很相似的题目,却不能用这种奇妙的算法来解答。

秦九韶遇到的题目叫“余米推数”问题,在数学史上也很名。它有一种有趣的表述形式。

一天夜里,一群盗贼洗劫了一家米店,放在店堂里的3箩米几乎被席卷一空。第二天,官府派人勘查了现场,发现3个箩一样大,中间那个箩里还剩下14合米,而两边的箩里只剩下1合米了。

盗贼偷走了多少米呢?店主不记得每个萝里装了多少米,只记得它们装得一样多。

后来,行窃的3个盗贼都被抓住了。可是,他们也不知道偷了多少米。那天晚上,店堂里漆黑一团,盗贼甲摸到了一个马勺,用它从左边那个箩里舀米;盗贼乙摸到一个木鞋,用它从中间那个箩里舀米;盗贼丙摸到一个漆碗,用它从右边那个箩里舀米。盗贼们不记得舀了多少次,只记得每次都正好舀满,舀完最后一次后,箩里剩下的米都已不够再舀一次了。

在米店里,人们找到马勺、木鞋和漆碗,发现马勺一次能舀19合米,木鞋一次能舀17合米,而漆碗一次只能舀12合米。问米店共被窃走多少米,3个盗贼各盗窃了多少米?

为什么说余米推数问题与物不知数问题很相似呢?如果把米店被窃走的米数看作是一堆物体,这个题目实际上就是:

有一堆物体,不知道它的数目。如果每19个一数,最后剩下1个,每17个一数,最后剩14个,每12个一数,最后剩下1个。求这堆物体的数目。

秦九韶想,既然这两个题目很相似,那么,它们的解法也应该很相似。“鬼谷算”解答不了余米推数问题,说明它还不够完善,于是他深入探索了古代算法的奥秘,经过苦心钻研,终于在古代算法的基础上,创造出一种更普遍、更强有力的奇妙算法。

这种新算法也就是驰名世界的“大衍求一术”,它是我国古代数学里最有独创性的成就之一。国外直到19世纪,才由大数学家高斯发现同样的定理。因此,这个定理也就被人叫做“中国剩余定理”。

秦九韶也因此获得了不朽的声誉。西方着名数学史专家萨顿,对秦九韶创造性的工作给予了极高的评价,称赞秦九韶是“他的民族、他的时代以至一切时期的最伟大的数学家之一”。

10.数学怎样跌进“黑洞”

我们来作一个有趣的数字游戏:请你随手写出一个三位数(要求三位数字不完全相同),然后按照数字从大到小的顺序,把三位数字重新排列,得到一个新数。接下来,再把所得的数的数字顺序颠倒一下,又得到一个新数。把两个新数的差作为一个新的三位数,再重复上述的步骤。继续不停地重复下去,你会得到什么样的结果呢?

例如323,第一个新数是332,第二个新数是是233,它们的差是099(注意以0开头的数,也得看成是一个三位数);接下来,990-099=891;981-189=792;972-279=693;963-369=594;954-459=495;954-459=495;……

这种不断重复同一操作的过程,在计算机上被称为“迭代”。有趣的是,经过几次迭代之后,三位数最后都会停在495这个数上。

那么对于四位数,是不是也会出现这种情况呢?结果是肯定的,最后都会停在6174这个数上。它仿佛是数的“黑洞”,任何数字不完全相同的四位数,经过上述的“重排”和“求差”运算之后,都会跌进这个“黑洞”——6174,再也出不来了。

前苏联作家高基莫夫在其所着的《数学的敏感》一书中,曾把它列作“没有揭开的秘密”。

有时候,“黑洞”并不仅只有一个数,而是有好几个数,像走马灯一样兜圈子,又仿佛孙悟空跌进了如来佛的手掌心。

例如,对于五位数,已经发现了两个“圈”,它们分别是{63954,61974,82962,75933}与{62964,71973,83952,74943}。有兴趣的读者不妨自己验证一下。

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