35.韩信点兵
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余8人……刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题；假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3，得9948(人)。
中国有一本数学古书《孙子算经》也有类似的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”
答曰：“二十三”
术曰：“三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”
孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
36.数学悖论趣谈
悖论是逻辑学的术语，原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。比如大家熟知的《韩非子·难一》中记载的那位卖矛又卖盾的楚国人，声称他的矛锋利无比，什么样的盾都能刺穿，而他的盾坚韧异常，什么样的矛都刺不穿，人问：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人无言以对。这里关于矛和盾的论述就是一个悖论。悖论这个词在实际使用中，其涵义已被扩大化，常常包括与人的直觉、经验或客观事实相违背的种种问题或论述。因此有时也被称为“佯谬”、“怪论”等。
悖论虽然看似荒诞，但却在数学哲学史上产生过重要影响。一些着名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深入的思考。可以说，悖论的研究对促进数学思想的深化发展是立过汗马功劳的。
世界上有记载的最早的悖论，是公元前五世纪希腊哲学家芝诺提出的关于运动的着名悖论。在我国公元前三世纪的《庄子·天下篇》中，也记载了几条着名的悖论辨题。这些悖论的提出和解决都与数学有关。在数学史上震撼最大的悖论是英国哲学家罗索于1902年提出的“集合论悖论”，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”。这些严肃的论题在许多数学方法论着作、数学史书籍以及有关的读物中都有记载和讨论。
本文只想谈点轻松的话题。其实，许多数学悖论是饶有趣味的，它不仅可以令你大开眼界，还可以从中享受到无尽的乐趣。面对形形色色富于思考性、趣味性、迷惑性的问题，你必须作一点智力准备，否则可能就会在这悖论迷宫中转不出来了。看看下面的几个小故事，你就会相信此话不假。
第一个故事发生在一位调查员身上。这位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅《中学生数学》的情况，他很快统计出，A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些，对B校和C校的调查也得出同样的结果。于是他拟写了一个简要报道，称由抽取的三所学校的调查数据看，中学生中男生订阅《中学生数学》的比例比女生大。后来，他又把三所学校的学生合起来作了一遍统计复核，匪夷所思的事情发生了，这时他得出的统计结果令他大吃一惊，原来订阅《中学生数学》的所有学生中，女生的比例比男生要大些，怎么会是这样呢？这就象在玩一个魔术，少的变多了，多的变少了。你能帮他找找原因吗？
接下来的这个悖论似乎更简单了。有人把它归入数学中对策论的研究范畴。
一位美国数学家来到一个赌场，随便叫住两个赌客，要教给他们一种既简单又挣钱的赌法。方法是，两个人把身上的钱都掏出采，数一数，谁的钱少就可以赢得钱多的人的全部钱。赌徒甲想，如果我身上的钱比对方多，我就会输掉这些钱，但是，如果对方的钱比我多，我就会赢得多于我带的钱数的钱，所以我赢的肯定要比输的多。而我俩带的钱谁多谁少是随机的，可能性是一半对一半，因此这种赌法对我有利，值得一试。赌徒乙的想法与甲不谋而合。于是两个人都愉快地接受了这位数学家的建议。看来这真是一种生财有道的赌博。
现在的问题是，一场赌博怎么会对双方都有利呢？这象不象一场机会均等的猜硬币正反面的游戏，输了只付1元，而赢了则收2元呢？据说这是个一直让数学家和逻辑学家头疼的问题。《科学美国人》杂志社一直在征求这个问题的答案呢。其实只要认真分析一下，对这个问题也不难给出有说服力的解释。
让我们再来看一个逻辑学的悖论吧。一位数学教授告诉学生，考试将在下周内某一天进行，具体在星期几呢？只有到了考试那天才知道，这是预先料不到的。学生们都有较强的逻辑推理能力，他们想，按教授的说法，不会是星期五考试，因为如果到了星期四还没有考试，那教授说的“只有到了考试那天才知道，这是预先料不到的”这句话就是错的。因此星期五考试可以排除。那就只可能在星期一到星期四考。既然这样，星期四也不可能考，因为到了星期三还没有考试的话，就只能是星期四了，这样的话，也不会是预料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同样的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考试。学生们推出结论后都很高兴，教授的话已经导出矛盾了，轻轻松松地过吧。结果到了下周的星期二，教授宣布考试，学生们都愣住了，怎么严格的推理失效了呢？教授确实兑现了自己说的话，谁也没有能预料到考试的时间。现在请你想一想，学生们的推理究竟错在哪里呢？
关于运动的悖论有很悠久的历史，这里介绍的“蚂蚁与橡皮绳悖论”是一道让你的直觉经受考验的数学趣题。问题是这样的：一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟，橡皮绳就拉长100米，比如10秒后，橡皮绳就伸长为1000米了。当然，这个问题是纯数学化的，既假定橡皮绳可任意拉长，并且拉伸是均匀的。
蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动。现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端？
也许你会认为，蚂蚁爬行的那点可怜的路程远远赶不上橡皮绳成万倍的不断拉长，只怕是离终点越来越远吧！但是千真万确，蚂蚁爬到了终点，奇怪吗？
37.放大镜不能把“角”放大
我们看到老人家看报、读书，往往戴上老花眼镜，或者拿上一面放大镜。因为老花眼镜片和放大镜片都能把文字或图画放大，所以老人家用它。
放大镜的确可以把任何东西放大几倍、十几倍甚至几十倍。如果要放大几百、几千倍，甚至几万、几十万、几百万倍，还可以用光学显微镜或者电子显微镜。
可是，有一件东西却无论如何也放大不了。你猜，这是什么东西呢？这就是几何学里面所用到的“角”。“角”的实用价值很大，测量和设计机器都要用到它。“角”是由一点所引两条射线组成的。譬如∠AOB，就是由两条射线OA和OB组成的。“角”的大小，是指同一点所引两条射线张开的程度。我们已经知道，一个角的大小是用几度、几分、几秒来表示的。
例如，有一个“角”是30°，在放大镜下面看起来，它还是30°。虽然放大镜使画面上的线条变粗、字母变大了，可是，这个角张开的程度，还是没有改变。
为什么呢？
第一，因为经过放大以后，这两条射线的位置，仍旧不变。OB占有水平的位置，放大后仍旧占着水平的位置；OA原来是这么斜着的，放大后它还是这么斜着。所以，张开的程度不变。再则，放大镜只能把东西的各部分成比例地放大，而形状不变。在数学上，原来的图形与放大后的图形，称为“相似形”。相似形的对应角是相等的。因此，放大镜下的∠AOB，与画面上的∠AOB，在大小上是相等的，并没有被放大。
最明显不过的例子，就是桌子或者书本的四角，不管怎么放大，它们的四个角仍旧都是直角。因此可以说，随便多少度数的角，“放大”以后度数是不改变的；也就是说，图形是放大了，但“角”是不会被放大镜放大的。
38.庄家为什么会赢
所谓“机会型”赌博，就是说胜败完全靠碰运气，它最容易引诱青少年上当。因为表面上看来机会均等，甚至有利于参加者，事实上，几乎所有的“机会型”赌博，机会都不是均等的，总是有利于庄家的。这究竟是为什么呢？
我们来看一种在国外颇为盛行的赌博——“碰运气游戏”。它的规则如下：每个参加者每次先付赌金1元，然后将三个骰子一起掷出。他可以赌某一个点数，譬如赌“1”点。如果三枚骰子中出现一个“1”点，庄家除把赌金1元发还外，再奖1元；如果出现两个“1”点，发还赌金外，再奖2元；如果全是“1”点，那么发还赌金，再奖3元。
看起来，一枚骰子赌“1”点，取胜的可能性是1/6；那么两枚骰子就有1/3的可能性，三枚也就有1/2的可能性。即使是1元对1元的奖励，机会也是均等的，何况还可能有2倍、3倍奖励的可能性，自然是对参加者有利。其实，这只是一个假象。
我们来计算一下，三枚骰子一起掷，会出现怎样的情况？第一枚有6种可能，而对于它的每一种结果，第二枚又有6种可能，第三枚也是如此，所以一共有6×6×6＝216种可能结果。在这216种可能结果中，三枚点数各不相同的可能就是6×5×4＝120种。三枚点数完全相同的可能只有6种，即都是“1”、“2”……“6”。余下的216－120－6＝90种可能，就是三枚中有两枚点数相同的情况。
一个参加者，假设他总是赌“1”点，如果赌了216次，那么他能有几次获奖呢？先来看只有一枚出现“1”点的情况：出现“1”点的骰子可能是第一枚，也可能是第二或第三枚，共有三种可能，而其余两枚不出现“1”点的可能性有5×5＝25种，所以共有3×25＝75种可能。这75种可能出现时，他可获2元，那么总共可获75×2＝150元。再来看出现两枚“1”点的可能性：可以出现在第一和第二枚，也可以是第一和第三枚，还可以是第二和第三枚，也是三种可能；而另一枚骰子不出现“1”点只有5种可能，所以共有15种可能。这时，每次他可获3元，共45元。最后，三枚都出现“1”点的只有一种可能，这时，他可获4元。
这样，216次，他共获150＋45＋4＝199元。但每次先付1元，他共付了216元。所以，一般来说，他会输216－199＝17元。
我们再来看看庄家的情况。假设有6人参加赌博，每人分别赌“1”、“2”……“6”点，并且假定进行了216次。庄家每次收进了6元赌金，216次共收了6×216＝1296元。那么他会付出多少呢？
从前面的分析中我们已经知道，在216次中有120次结果是三枚骰子点数各不相同的。譬如，出现了“1”、“2”、“3”，于是赌“4”、“5”、“6”点的三位参加者就输了。庄家要付给赢的三家每人2元，共6元，120次，共计6×120＝720元。另外有90次是有两枚骰子点数相同的，譬如“1”、“1”、“2”，那么，赌“3”、“4”、“5”、“6”点的就输了，赌“2”点的可得2元，赌“1”点的可得3元，庄家每次付出5元，90次共计5×90＝450元。最后，还有6次是三枚骰子点数完全相同的，譬如都是“1”，这时，只有赌“1”点的赢，可得4元，6次，共24元。
所以，庄家一共付出720＋450＋24＝1194元。于是庄家净赚1296－1194＝102元，占总金额的7.9％。
现在，你明白了吗？赌博是没有好处的，千万不要参加赌博。
39.同学的生日
你有没有发现，在同班同学中，几乎总是有生日相同的。不信，你可以去统计一下。但是，你能说出为什么吗？一个班级不过40～50人，而一年有365天，生日怎么会“碰”在一起呢？
我们先来计算一下“四人的生日都不在同一天”的可能性（概率）。随意找一个人甲，他的生日可能是365天中的任何一天，就是说有365种可能；第二个人乙，第三个人丙，第四个人丁也是同样。于是四人的生日状况共有3654种情况。那么生日各不相同的情况占了多少呢？如果要使乙的生日不与甲相同，那么乙就只能是除去甲生日那一天的其它364天中的某一天，即有364种可能。同理，丙不能与甲、乙两人的生日相同，那么有363种可能；丁不能与前三人生日相同，于是只有362种可能。因此，“甲、乙、丙、丁四人生日都不在同一天”的可能性是：
365×364×363×3623654＝0.98＝98%；
反过来，“甲、乙、丙、丁四人中至少有两人生在同一天”的可能性就是：
1－0.98＝0.02＝2％。
现在，将四人推广到40人。“40人的生日都不在同一天”的可能性应是：
365×364×363×…×32636540＝0.1088＝10.88%；
