54.部分也能等于整体吗？
在一个大盒子里，装着许多黑白两种围棋棋子，怎么才能知道哪种颜色的棋子多一些呢？一种办法是分别数出它们的个数，进行比较；另一种办法是，每次同时取出一黑一白两种棋子，一直取下去，如果最后只剩下某种颜色的棋子，就说明这种颜色的棋子多，如果刚好取完，就说明两种颜色的棋子一样多。
但是，假如那个大盒子里装着无穷多个棋子，那就没有办法把两种颜色的棋子分别出来比较多少了，因为，至少有一种颜色的棋子是无穷多的。但是后一种办法却仍然可以使用：如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一种颜色的棋子，就可知道这种颜色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一个黑的，总能再拿出一个白的；拿出一个白的，也总能再拿出一个黑的，总说明它们是同样多的。
整体大于部分，这是一条古老而又令人感到无可置疑的真理。把一个苹果切成三块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块，但这仅仅是对数量有限的物品而言的。17世纪的大科学家伽利略发现，当涉及无穷多个物品时，情况可就大不一样了。
比如有人问你：整数和偶数哪一种数多呢？也许你会认为：当然是整数比偶数多，而且是多一倍。如果从1数到100，那么就有100个整数，而其中只有50个偶数。那要是无穷多个整数和偶数呢？我们可以用“一一对应”的方法来比较一下：
……－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6
……－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12……
对于每一种整数，我们可以找到一个偶数和它对应，反过来对于每一个偶数我们又一定可能找到一个整数和它对应，这就是整数和偶数是一一对应的，也就是说整数和偶数是一样多的。
为什么会得出这样的结论呢？这是因为我们现在讨论的整数和偶数是无限多的，在无限多的情况下，整体可能等于部分。
在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论。它揭示出：部分可以和整体之间建立一一对应关系，这正是含有无穷多个元素集合的本质属性之一。它也告诉人们：不要随便地把在有限的情形下得到的定理应用到无限的情形中去。
55.无法编成的目录
瑞士数学家贡塞斯曾说过这样一个故事：古老的亚历山大图书馆里，辛勤的学者卡里马楚斯正在埋头编制图书馆珍藏的亚里士多德学派着作目录。
他编着编着，忽然放声大哭，因为他感到无论怎样也无法完成目录的编制工作。事情是这样的，他将所有书目分成两类：第一类专收“自身列入的目录”，意思是目录中也列入这本目录自身的名目。
比如《美学书目》，这本目录收集的是这方面的书目，如果翻开一看，还收有《美学书目》这本书的名称，这就称这目录是“自身列入的书目”。第二类专收“自身不列入的目录”，翻开这本目录，找不到它自己的名目。比如《摄影作品目录》中，就没有《摄影作品目录》这本书自己的名目。
卡里马楚斯编完第二类目录，这本目录是第二类书目的“总目”。但他一想到这部“自身不列入目标”的“总目”，其名目该不该收入这本《总目》本身时，就发现这是个无法解决的难题。
因为如果“总目”不列入《总目》，不但不成其为《总目》，而且正好使它成为一部“自身不例入的目录”，就应列入。如果它自身列入的话，那就成为一部“自身列入的目录”，就没有资格列入自身。因而不列入自身，就必须列入自身；列入自身就不列入自身。无论列入或不列入，都不对，好像陷入了“魔地”，难怪学者卡里马楚斯也会放声大哭呢！
56.地图着色的四色猜想
人人熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同区域区分开来。这个地图着色问题，是一个着名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光辉。
在地图上区分两个相邻的国家或区域，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域。如一幅表示某个国家的省区地图，图中虚线表示各省界，可见。用两种颜色是区分不开的，三种颜色就够了。A、B、C三省各用一色，D省和B省用同样的颜色。
又如地图中1，2，3，4表示四个国家。因为这张地图的四个国家中任何两个都有公共边界，所以必须用四种颜色才能把它们区分开。
于是，有的数学家猜想：任何地图着色只需四种颜色就够了。
正式提出地图着色问题的时间是1852年。当时伦敦大学的一名学生法朗西斯向他的老师、着名的数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题。莫根无法解答，求助于共他的数学家，也没能解决。于是，这个问题一直传下来。
直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题。
57.奇妙的自然数
0、1、2、3……这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。
从一个小正方形开始，第一层虚线标出三个小正方形，第二层虚线标出五个小正方形……它说明了下面一些有趣的事实：
1=1-12
1=3=4=22
1+3+5=9=33
……
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82一般地，如果n是一个自然数，则：1+3+5+……+（2n-1）=n2。
对于所有的自然数，下面的式子也是正确的：
13=12，13+23=1+8=9=（1+2）2
13+23+33=1+8+27=（1+2+3）2
13+23+33+43=1+8+27+64=（1+2+3+4）2
……
13+23+33……+n3=1+8+27+……+n3=（1+2+3+……+n）2
再来看6174这个数。把它的各位数从大到小写一遍，再从小到大写一遍，然后相减：7641-1467=6174。结果竟与原数6174一样。有趣的是，如果随便取一个四拉数，只要它的四个数字不完全相同，按上述方法对它处理，并重复多次，最终都将得到6174这个数。比如0923：
9320－0239=9081，
9810－0189=9621，
9621－1269=8352，
8532－2358=6174。
对随便一个六位数按上述方法计算，会得到三种结果：（1）631764的重复；（2）549945的重复；（3）下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
对八位数也有类似的结果，最后都归于63317664；对十位数来说，最后都归于6333176664，从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都与6174这个数有关。
1930年，意大利的杜西教授作了如下观察：
在一个圆周上放上任意四个数例如：8，43，17，29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内必然会出现四个相等的数。科学家还证明，如果四个数中最大的是n，则在重复4n－1步时，四个差数将相同。
三位数也有奇妙的性质。
任取一个三位数，将各位数字倒看排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：
195+591=786
786+687=1473
1473+7341=5214
5214+4125=9339
只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数，也称对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是196，它在被试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是196问题，成了世界性的难题。
专门研究数的各种性质的数学分支，叫做数论，其中有许多既有趣又有困难的问题，科学家们正努力加以解决。
