一元一次方程问题在古埃及时已经出现。巴比伦人已经知道某些特殊的二次、三次方程的解法，例如：两个正方形面积之和是１０００，其中一个边长是另一个边长的23少１０，问各长多少？这相当于解联立方程
x2+y2=1000，y=12x-10。
当时实际的解只是由观察某些简单的数字关系而得到答案。
《九章算术》的第８章“方程”，给出了联立一次方程组的普遍解法，并且使用了负数，这在数学史上具有非常重要的意义。
我国古代是用算筹来运算的，未知数不用符号表示，只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是变量的总名，也有计量、考核、程式的意思。“方程”的名称，就来源于此。
《九章算术》第８章的第１题为：
“今有上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
“禾”指黍米，一“秉”即一捆，“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”就是说：三捆上等黍米，两捆中等黍米，一捆下等黍米，一共可打出黍米谷３９斗。
设上、中、下禾，每捆各出谷ｘ、ｙ、ｚ斗，则用现代的方程来表达，可得
3x+2y+z=39，
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26。
在《九章算术》中列出的方程形式为：
在方程中只能看到系数，看不到未知数，文字采用直排，而且阅读时是从右到左的。由于这种方程中，未知数不用符号表示出来，实际上就是现代的分离系数法。书中给出的解法是联立一次方程组的普遍解法。除了符号、名词和计算工具不同外，和现代使用的消元法实质一样。
（第８章）中还有四元及五元的方程组，也是用类似的方法来解的。
在国外，线性方程组的完整解法，直到１７世纪末才由微积分的发明人莱布尼茨着手拟定。可见，从时间上来说，《九章算术》的解法实是在世界数学史上一大光辉成就，值得中国人自豪！
自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后，多少世纪没有显着的进步。贾宪、秦九韶、李治等人曾研究过一元高次方程。元朝杰出数学家朱世杰集前人之大成，建立了四元高次方程组理论，并称为“四元术”。他用天元、地元、人元、物元表示四个未知数，相当于现在的ｘ、ｙ、ｚ、ｕ。朱世芝的《四元玉鉴》一书，举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例题相当复杂，数字惊人的庞大，不但过去从未有过，就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。
在外国，多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过，例如巴比伦人借助数表处理过某种二元二次方程组，但较系统地研究却迟至１６世纪，１５５９年，法国人彪特才开始用不同的字母Ａ，Ｂ，Ｃ……来表示不同的未知数。而过去不同未知数用同一符号来表示，以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到１８世纪，由探究高次代数曲线的交点个数而引起。１７６４年，法国人培祖提出用消去法的解法，这已在朱世杰之后四五百年了。
40.数学之源
数学最初是从结绳记事开始的。大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动常常是集体进行的，所得的“产品”也平均分配。这样，古人便渐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后用一块石子、一根木条来代表；或者用在绳子上打结的方法来记事、记数。这样，在原始社会人们的眼光中，一个绳结就代表一头野兽，两个结代表两头……或者一个大结代表一头大兽，一个小结代表一头小兽……数量的观念就是在这些过程中逐渐发展起来的。随着捕获手段的提高，所获的野兽越多，绳子的结越多，需要的数目也越大。
在距今大约五六千年以前，沿非洲的尼罗河出现了一个伟大的文明社会——埃及。埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，淹没大片农地，11月洪水逐渐退落。埃及人通过长期观察，注意到当天狼星和太阳同时出没的时候，正是洪水将至的预兆。还发现，这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择在洪水泛滥之后留下的肥沃淤泥上下种，待6月洪水来临之前收割，以获得好的收成。这是通过天文观测进行农业生产的结果其中也包含了数学知识的应用。另一方面，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人的，租用的人每年把他的收成提取一部分给土地所有者——国王。如果洪水冲毁了他们所分得的土地，他可以向国王报告，国王便派人前来调查并测量损失的那一部分，这样，他交的租就会相应减少。这种对于土地的测量，导致了几何学的诞生。实际上，几何学的原意就是“土地测量”。
数学正是从打结记数和土地测量开始的。
与埃及同时，世界上还有几个同样伟大的文明社会，如亚洲西部的巴比伦，南部的印度和东部的中国，它们分别创造了自己的文字。同时也产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今大约两千多年以前生活在欧洲东南部的希腊人，继承了这些数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学：古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人保存和继承了他们的文化，后来又传回欧洲，使得数学重新繁荣起来，并最终导致了近代数学的创立。
41.十进制和二进制的故乡
中国是世界文明古国之一，中国数学在人类文化发展的初期，远远领先于巴比伦和埃及。
中国早在五六千年前，就有了数学符号，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字，已十分常见。这时，自然数计数都采用了十进位制。甲骨文中就有从一到十到百、千、万的十三个记数单位。
在运算过程中用的是算筹。算筹就是一些用木、竹制作的匀称的小棍，算等纵横布置，就可以表示任何一个自然数。据考证，至少在公元前8世纪到前5世纪的春秋时代，我国算筹记法已经完备，而印度正式使用0这一符号是在公元876年以后。只有表示0的方法使用后，十进制才算完备。因此，中国是名副其实的十进制故乡。
中国还是现代电子计算机二进位制的发展地。二进位制中，只有0和1两个符号，0仍表示零，1仍表示“一”。但“二”就没有单独数码代表，因此得“逢二进一”，这样便可以表示一切自然数。
例如：
自然数一二三四五六七八九十……十进制12345678910二进制1101110010111011110001001101042.
规矩和直尺圆规
规和矩发明于中国，是古人用来测量、画圆形和方形的两种工具。“规”就是画圆的圆规；“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。古人说“不以规矩，不能成方圆”，就是这个意思。规矩发明的确切年代已无法查清，但在公元前15世纪的甲骨文中，已有规、矩二字了。汉朝着名史学家司马迁着的《史记》中有这样的记载：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”。这意思是说，夏禹是左手拿着水准绳，右手拿规和矩进行测量，规划出治水方案的。说明在夏禹治水的年代（约公元前2O00年）就有了规和矩这两种几何工具了。
规矩的使用，对于我国古代几何学的发展，有着很重要的意义。周代数学家商高曾对“用矩之道”作过理论总结：“平矩以正绳，堰矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。”这一段话，精炼地概括了矩的广泛而灵活的用途。“平矩以正绳”，是指把矩的一边放置水平，另一边靠在一条竖立的线上，可以判定绳子是否铅直。“堰矩以望高”，是指把矩的一边仰着另一边放平，可以测量高度。“覆矩以测深”，是把上述测高的矩颠倒过来，就能测量深度。“卧矩以知远”，是指上述测高的矩平躺在地面上，就可以测出远处两地间的距离。
古希腊人研究几何问题时，一般用直尺和圆规这两种工具。这种直尺没有刻度，只能画直线。希腊人作图只能从最基本的工具——直尺和圆规开始，完成尽可能多的几何图形。由此产生了两方面的问题：一是能否用直尺圆规画出这个图形；二是如能画出，怎么画。在这方面，最有名的是所谓直尺圆规作图的三大问题：三等分任意角、倍立方和化圆为方。对用直尺圆规作图的研究，导致了许多数学定理的发现。
43.最早的数学表
上中学数学课，计算时常常要用一些数学表：平方表、对数表、三角函数表……。有了数学表，就不用从头计算，而可以直接查表得到结果，大大方便了计算。这些数学表，是在长期的逐步积累中发展、完善的。
在靠近幼发拉底河的古代巴比伦的庙宇图书馆遗址，曾挖掘出大量的泥土板，上面用楔形文字刻着乘法表、加法表、平方表、倒数表和平方根表等。这些都是人类最古老的数学表，古巴比伦人就是用它们作为简化计算的工具的。
中国历史上最早的数学表，是“乘法九九表”。据说春秋时代霸主之一齐桓公招聘贤才，但无人应聘。一天，有一个人前来求见，齐桓公说：“你有什么本领？”来者说：“我会九九歌。”齐桓公嘲笑他：“会背九九歌也算本领吗？”那人回答：“背九九歌确实算不上什么大本领，但是如果您对我也能以礼相待，还怕比我高明的贤士不来应聘吗？”齐桓公觉得有理，就款待了他，后来果然招到很多能人。
这里的九九歌，就是现代的乘法九九表。这个故事也说明，九九歌在我国很早就已经普遍被人掌握了。在我国敦煌等地出土的西汉竹简（竹简是我国古代人用来写字的竹片）上，都记载着不完整的“九九表”。例如，敦煌的汉简中的“九九表”共十六句，即是：
九九八十一、八八六十四、五七卅五、二三而六、八九七十二、七八五十六四、七廿八五五廿五、二二而四、七九六十三、六八八三七廿一、四五廿五八、三五十五。
今天，人们可以用电子计算器来代替许多数学表，但在很多情况下，人们还在使用九九表，因为它方便易学，也很实用。
44.分数的妙用
有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的12、14、16。儿子们想来想去没法分：他们所得到的都不是整数，即分为112、114、116，总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的12就是6匹，老二得了12匹的14就是3匹，老三得了12匹的16就是2匹，还剩一匹我照旧牵回家去。”这样把难分的问题解决了。
分数起源于“分”。在原始社会，人们集体劳动，要平均分配果实和猎物，逐渐有了分数的概念。以后在土地计算、土木建筑、水利工程中，当所用的长度单位不能量尽所量线段时，便产生了分数。
人们从认识分数到研究分数，是从单位分数开始的。单位分数就是形如1n(n≠1的正整数)的分数。在3700多年前埃及的纸草书上，已经认识到：所有分子为2、分母为2n+1(n为2到49的正整数)的分数，可以分解为一些不相同的单位之和。如：
27=14+128
297=156+1679+1776
而通过这种表示法可以进行任何分数运算：如：
521=121+221+221
=121+114+142+114+142
=121+214+242
=121+17+121
=17+221=17+114+142
巴比伦人也使用六十进位的分数，即分母是60、602、603的分数。在很长一段时间内，欧洲人将分数运算视为畏途。
中国是世界上较早对一般分数进行研究的国家。公元前5世纪的《考工记》中，就有“十分之寸之一为一枚”的记载，即110寸等于一分。西汉时期《周髀算经》中，已经有了更复杂的分数运算。公元1世纪（东汉时期）的数学家专着《九章算术》中，专列“方田”一章，介绍通分、约分、比较分数大小的方法，以及有关加、减、乘、除运算的法则。这些知识与现代采用的方法基本相同，比印度领先500多年，比欧洲早1400多年。
45.负数的引入
今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如若以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为十8848米，世界上最深的马里亚纳海沟深为-11034米。在日常生活中，则用“十”表示收人，“-”表示支出。可是在历史上，负数的引人却经历了漫长而曲折的道路。
古代人在实践活动中遇到了一些问题：如相互间借用东西，对借出方和惜人方来说，同一样的东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠某个成员一定数量。再如从一个地方，两个骑者同时向相反的方向奔驰，离开出发点的距离即使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，占代人意识到仅用数量来表示一事物是是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反方向的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在二千年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正（可收钱），买入粮食的数目为负（要付钱）；以入仓为正、出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
