美妙的对称
闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能，属性完全不同，但它们的形状却有一个共同特性——对称。在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两端的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180°后，与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫做轴对称图形。电扇的一个叶子不是轴对称图形，但电扇的一个叶如果绕电扇中心旋转180°后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合，这种图形数学上称为中心对称图形，所有轴对称和中心对称图形统称为对称图形。
闹钟、飞机、电扇的对称形状不仅是美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。
对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。对称在建筑艺术中的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线边对称的。对称还是自然界的一种生物现象，不少植物、动物都有自己的对称形式。
堆垛问题
我们在码头、堆栈和仓库等堆物处，常可见到各种堆垛，形因物而各具规律，整齐而便于检点，计数时常有简便的方法。研究堆垛的计数和求积，在数学上叫做堆垛问题。
水泥管或圆木等物体常堆放成三角或梯形垛，这种堆法不但牢固，且占地面积小，方便计算，其求和公式为S＝1/2×（底层个数＋顶层个数）×层数。
棉纺厂准备车间生产的筒子，常堆成“正方锥垛”，底层是“正方形”，以上逐层每边减少1个，顶层是1个。总和计算公式为S＝1.2＋2.2＋3.2＋…＋（n－1）2＋n2（n为层数）。
工厂生产的木箱，有的堆成“长方楔垛”。设其顶层为1个，长为M个，以下逐层宽、长各多1个，底层宽N个，则长为M＋（N-1）个，求和公式为S＝1/6N（N＋1）（2N＋3M－2）。
精巧的蜂巢
蜜蜂既是辛勤的采蜜者，又是效率很高的花粉传播者。可是，你是否知道，它还是生物界里出色的“建筑师”呢。
蜜蜂用蜂蜡建造起来的蜂巢里是一座既轻巧又坚固，既美观又实用的宏伟建筑。达尔文还曾经对蜂巢的精巧构造大加赞扬。蜂巢看上去好像是由成千上万个六棱柱紧密排列组成的。从正面看过去，的确是这样，它们都是排列整齐的正六边形。但是就一个蜂房而言，并非完全是六棱柱，它的侧壁是六棱柱的侧面，但棱柱的底面是由三个三等菱形组成的倒角锥形。两排这样的蜂房，底部和底部相嵌接，就排成了紧密无间的蜂巢。
蜂巢的这种结构很自然地吸引了人们的注意。在200多年以前，有人曾测量过蜂巢的尺寸，结果发现了一个奇妙的规律：不论蜂房的大小如何，它底部菱形的锐角都是70°32′。这难道是偶然的吗？蜂房是由工蜂分泌的蜂蜡筑成的，有人从中得到启示：蜂房底部的菱形取这样奇特的形状，是不是为了使蜂蜡最节约，而又使这样形状的蜂房最宽畅呢？果然不错，数学家计算表明：如果筑成这样形状的蜂房，要使蜂蜡用得最少，也就是要使表面积最小，那么，这个蜂房底部菱形的锐角必须是70°32′。原来小小的蜜蜂还是生物界“精打细算”的能手呢！
蚊香盘法
蚊香虽是一种除害灭蚊的药品，但就其形状来讲，分析一下对我们分析问题和解决问题的能力会有一些帮助。一袋蚊香，像一个圆面，但又不完全一样。分开来，便成完全一样的两盘，每一盘的形状好像海螺的外壳，它绕着“中心”一边旋转，一边又向外伸展，我们叫它螺线。蚊香为什么要盘成螺线形状呢？原来蚊香形状是根据二心渐伸螺线设计的。它除了十字线的中心O外，还有两个心为O1和O2，O1和O2相距7毫米。实际上，这条螺线是由很多以这两个心为圆心的半圆弧光滑地连接起来的。起点与邻近一心的距离O2A＝8毫米。每盘蚊香粗7毫米，两条边缘也都是二心渐伸螺线，只是起点不同，它们与中心线起点各相距3.5毫米。
蚊香盘成这样形状有许多好处。首先，它的长度适中，905毫米，约可点燃7.5～8小时，这样既不至于半夜就烧完，又可避免不必要的浪费，且占地面积小，不易折断，便于包装、运输。其次由于做成了螺线形状，它一边旋转，一边渐伸出去，相邻两圈之间又有一定空隙，蚊香燃烧尽，不会延及另外一圈。再次，我们在制作时，只要设计尺寸恰当，就可使空隙之处正好又做一盘，一举“两得”，你说妙不妙？
谈谈管道口径
管道，我们在生活中经常见到，如自来水管、煤气管、污水管……如果你去过化工厂的话，厂里各种管道纵横交错的现场，一定给你留下深刻的印象。这些管道的粗细虽然不全一样，但它们口径的形状却都是圆的，这是为什么呢？这就涉及一个问题：周长一定的管道截面，成何种形状时，才能使管道截面的面积最大，流量也最大？这也是数学上有名的等周问题：周长一定的平面图形中，以哪种形状的面积为最大？这个问题的回答是：当制造管道的材料一定时，那么当口径做成圆形时流量最大。
根据这一等周定理，不仅是管道，还有其他许多东西都是做成圆的。例如，食品罐头，各类瓶子、杯子、烟囱等等。另外，你可曾见过这种现象：雨过天晴，汽车身上偶尔淌下的油滴，浮在柏油路的水面上，竟会反射出五光十色的美丽色彩来。你再仔细观察一下，还会发现这一圈圈的油滴，不论大小如何，却都是圆的！原来，这是油的表面张力遵循等周原理的结果。
彩虹般的拱桥
桥有各式各样的形状，有一类桥，它们的形状犹如缤纷的彩虹，飞架在江河之上，十分美丽，人们称它为拱桥。许多桥为什么要造成拱形的呢？这不单是拱桥形状好看，更重要的是拱桥有许多优点。如果在一根平直的横梁上面加压重量，就可以看到，梁的中部最容易弯曲甚至折断；而且从它的断面可以看出，梁的底部是被拉力拉断的，梁的上部是被压力压坏的，这样拉力和压力总和加起来，就是通常所指的“弯力”。如果我们把梁柱改为拱形，外加压力作用下产生的“弯力”就能沿着拱圈传送到支座，并经过支座传送到地下。这样，“弯力”对拱桥本身的影响就可以大大减小。如果拱的曲线形状设计得恰当，“弯力”影响可以减少到最低程度，甚至为零。
拱桥
正是由于上面所说的原理，所以许多桥都造成拱形的。如世界闻名的安济桥和赵州桥在我国都有着悠久的历史，在漫长的岁月里，它们饱经风霜、车辆重压、洪水冲击、地震摇撼的考验，至今仍矫健屹立。
伞形太阳灶的奥秘
太阳灶利用太阳辐射出来的热量，可以烧水、煮饭、炒菜。也许你会感到奇怪，太阳光怎么能烧得熟食物呢？奥秘在于太阳灶有一个聚光的装置，它能将太阳光反射集中到一个地方，使这个地方的温度达到好几百度。这样，只要在这个地方放上一个锅，就可以烧水、煮饭、炒菜了。
可是，道理说起来简单，而要使太阳反射点达到足够高的温度却不那么容易。这还得要借助于伞形太阳灶的几何形状——旋转抛物面，这是由抛物线绕着它的轴旋转一周而成的。为什么旋转抛物面有这么大本领呢？原来，它是利用了光在曲面上反射具有的选择最短路线的性质，让入射到抛物面上的平行太阳光会聚到焦点上去，使焦点处的温度大大提高了。这就是伞形太阳灶能烧水、煮饭、炒菜的数学和物理原理。
扁形运液筒
你可曾注意到，汽车背脊上的大桶，多数呈椭圆形状，即它的两个底面都是椭圆（数学上称椭圆柱体）。为什么汽车上的大桶要做成椭圆形状呢？
原因主要是在于容积相同的条件下，椭圆形桶与长方体形的桶相比较，用料上要节约一些。除了节省材料的原因之外，还有一个强度问题。椭圆桶的外受力比较均匀，牢固而且不易撞坏，而长方体的棱角多，焊接多棱处受力特别大，容易破裂。所以汽车运输液体的桶一般不做成长方体的形状。
再与圆柱桶相比较。仍在容积相同的条件下，圆柱桶比椭圆省料。如果单从节省材料的角度看，应该把桶底做成圆形的，但由于圆柱桶要比椭圆桶高和狭，它的重心比较高，不稳定，两边还要用支架，汽车的宽度也不能充分利用。
综上所述，椭圆桶较省料，又牢固，重心低，比较稳。这就是汽车背脊上的大桶做成椭圆形的道理。
七巧板可以拼成各种有趣的图案
七巧板
小朋友们对七巧板可能是再熟悉不过了。七巧板是我们祖先发明的一种玩具。它是由5块三角形、1块正方形、1块平行四边形的板组成。据说在1000多年前唐朝的时候，有人用一套可以分开、拼合的桌子在宴请客人的时候摆成各种有趣的图案，来增加宴会的气氛。后来，经过了许多人的精心琢磨，这种桌子慢慢演变成了今天的七巧板。
这七巧板的独特之处就在一个“巧”字。它们可以互相调换摆成人体，动物等各种图案。比如用正方形板表示人头；用三角形板表示动物的嘴；用平行四边形表示人的身体。有了这些基本图形，再加上三角形拼起来能出现多种不同的形状，七巧板就拼出了各种有趣的图案。
三脚架竖立的秘密
三脚架三脚架有许多用处：摄影爱好者用它来支撑照相机；露营野炊者用它来做烧水做饭的支架……三脚架简单实用，但使用时必须注意，三脚架的“头”应处在它的三只“脚”所构成的三角形之中，这样才稳定。若“头”偏出了三只“脚”所在的三角形区域外，那么三脚架就会翻倒。这是因为任何物体都有一个重心，如果物体的重心越出物体支撑点范围，物体就会不稳甚至翻倒。要使三脚架稳定，就应该使它的“头”落在它的支撑点的范围——三脚架的“脚”所构成的三角形之内。所以正确掌握重心位置是物体稳定的关键，表演杂技顶花瓶的演员正是利用了这一道理，才会有惊人的表演。演员把一根木棒顶在放有花瓶、茶杯等东西的玻璃板下，使得玻璃板上的重心落在木棒上，玻璃板上的花瓶、茶杯等就不会翻转。
一般可以用几何作图求三角形的重心，在ABC的三条边AB、BC、AC上，分别找到它们的中点D、E、F，连接AE、BF、CD，那么这三条线必相交于一点O，O点就是这个三角形的重心。
地球仪表面上的纸是如何贴上去的
如果请人把一张纸贴在圆圆的皮球上，那么无论你怎样贴，也不会把它贴得很平整。可是，圆圆的地球仪表面上的世界地图却贴得平平整整，没有皱折和重叠的地方，你知道这是为什么吗？
原来，要把一张准确的世界地图贴在圆圆的地球仪上，并不是一件简单的事。数学家和技术人员经过周密的计算，把世界地图分成12块相等的两端尖中间宽的纸条，然后再一张一张地拼着贴上去，制成地球仪的表面。这样，地球仪表面的地图就没有皱纹了。
现在你能明白为什么地球仪不是完完整整的一张纸制成的但又很平整的原因了吧？做地球仪的原理其实跟做灯笼一样，假设你想用纸糊一个灯笼，那你一样得是经过计算做出若干大小相等且两端尖中间宽的纸条，然后贴上去，就制成了一个和地球仪一样表面平整的圆灯笼。
铺砖的难题
铺地面用的马赛克，不管镂刻什么图案，砖形都是正方的或是正六边形的。这简单的工艺暗含有几何问题。用几块正多边形的砖，将它们拼接在一起，要它们摊得平（不凹不凸）、凑得满（不露缝不裂口）。希望做到这一步，必须各砖凑在一起各角之和是360°。为此，我们把几个简单的正多边形的内角排列出来：
正多边形数3、4、5、6、8、9、10、12的每个角度数分别为60°、90°、108°、120°、135°、140°、144°、150°。如果只许用一种形状的砖，便只有三角形、正方形、正六边形可取。6个三角形，4个正方形，3个正六边形都能在一点凑成360°。但是单用三角形拼成的图案不美观，实际上为了工艺方便普遍采用方砖和六角砖。
单用边数为5、8、9、10、12的正多形都不能拼成平面，如果用几种正多边拼凑，根据各角之和等于360°，还是能拼出平面的。当然，这种平面的图案变化就会比较复杂。
折纸中的数学问题
给定一个正方形纸片，能否通过折这张纸作出指定的图形。折纸是一种游戏，这种游戏既简单又普及，这里面却有许多数学问题。
三等分任意角
用直尺和圆规不能作出任意角的三等分线，其原因是尺规作图有局限性，如果放弃这种限制，改用其他方法三等分任意角可以实现。比如折纸就可三等分任意角。下面是三等分任意锐角的折纸方法。
在正方形纸片ABCD上折出给定的角∠PBC，对折正方形，使A、B重合，得折痕EF，再对折矩形BCFE，使B、E重合，得折痕GH。
翻折角B，使B重合在GH上记为B′，且使E重合在BP上记为E′，点G折后的点是G′，折痕是XY。
折出直线BG′、BB′，则折痕BB′、BG′为∠PBC的三等分线。
事实上，B与B′是关于XY的对称点，而GB′与GH重合，B′G⊥BE，所以，BG′⊥B′E′。又因为B′G′=BG=GE=G′E′，所以∠E′BG′=∠B′BG′，即BG′是∠B′BE′的平分线。
