古希腊大数学家毕达哥拉斯
在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生，给后代留下了众多神奇的传说。
毕达哥拉斯生于萨摩斯（今希腊东部小岛），位于他林敦（今意大利南部）。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，曾到巴比伦和埃及去游学，因而接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可毕达哥拉斯思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密；并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。
毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的一大贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。
几何学之父欧几里得
两三千年前，古埃及人生活在尼罗河两岸，生产力很发达，大片大片的土地被开发。但是，人类无法与大自然抗争，当时的人们对洪水束手无策。每年，当夏秋季节尼罗河泛滥时期，河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道，好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时，就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量，准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地，埃及人积累了不少计算面积的公式。如：
矩形：A=ab（其中A是面积，a是长，b是宽。）
三角形：A=ah/2（其中a是边长，h是高。）
另外，还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式（8d/9）2，和如今的计算公式极为相近。
但是，当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。
到了公元前320年，有一位叫做欧德谟的学者，根据埃及人的经验，写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年，古希腊出了一位叫欧几里得的人，他根据前人的经验，经过自己的计算推理，写出了一本共13篇的《原本》（又称《几何原本》）。这是人类第一次出现的“几何”概念。
欧几里得在《原本》这本书里，首先给出的是定义和公理。比如，他的点、线、面的概念：
点是只有位置没有大小的；
线是只有长度没有宽度的；
面是只有长度和宽度的；
平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线；
……
这些定义和现今的几何定义极为相似。
欧几里得还按照逻辑原理，推论出十分严谨美妙的五条公理（又称“公设”）。其中有：
从一点到另一任意点作直线是可能的；
所有的直角都相等；
a=b，b=c，则a=c；
若a=b，则a c=b c；
《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线，圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中，有一个命题是在一个圆内作正15边形。
据说，当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°，即是圆周的1/15.于是，欧几里得运用自己的智慧，作出了正15边形，这在当时是一个难度十分大的命题。
《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的，以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说：一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为科学家的。
从《原本》的出现到现在，这部书出版过一千次以上，几乎世界上所有的杰出数学家，都是读着《原本》成长起来的。两千多年来，《原本》就像一尊坚固的宝塔，其坚固程度没有人能撼动它。因此，后人，尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书，而欧几里得的名字，也同《原本》一道流传千古。
传说托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外还有没有学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为流传千古的名言。另一则故事说，一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得些什么。欧几里得说：“你想在学习获取实利吗？那么就拿去这3个银币吧。”欧几里得这种勤勤恳恳不计名利追求真理的精神永远值得人们学习。
代数之父韦达
16世纪末，法国在同西班牙的战争中，西班牙依仗着密码，在法国境内秘密地自由通讯，交通情报，结果使法军连连败退。法国国王请来当时很有名望的数学大师韦达进行帮助，韦达借助数学知识，成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，从而使法国只用两年时间就打败了西班牙，韦达在这次战争中立了大功。但是，西班牙国王菲力普二世向教皇控告说，法国人在对付西班牙时采用了魔术。于是，西班牙宗教裁判以韦达背叛上帝的罪名进行缺席判决，要将韦达处以焚烧的极刑。当然，宗教的野蛮刑法未能实现，韦达于1603年12月13日在巴黎逝世，终年63岁。韦达死后，人们誉他为“代数之父”。
韦达于1540年生在法国的丰特内，本名叫佛兰西斯·韦埃特。韦达是他的拉丁名字。他的专业是学律师的，曾任过布列塔尼议会议员、那瓦尔的亨利亲王的枢密顾问官。他对天文学、数学有着浓厚的兴趣，经常利用业余时间研究数学。1584年到1589年，由于他在政治上处于反对派地位，被免去了官职。从此，他便专心致力于数学的研究。
在从政期间，韦达研究丢番图、塔尔塔利亚、卡尔丹诺、邦别利、斯提文等人的著作。他从这些名家，特别是从丢番图那里，获得了使用字母的想法。
在韦达之前的一些大学者，包括欧几里得、亚里士多德在内，虽曾用字母代替过特定的数，但他们的用法不是经常的、系统的。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母代替数进行数学运算的人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般系数。通常，他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他的做法是划时代的，从而奠定了代数学的基础，对代数的国际通用语言的形成起到了极为重要的作用。
1591年，韦达出版了他的代数学专著《分析方法入门》，这是历史上第一部符号代数学。它明确了“类的算术”和“数的算术”的区别，即代数与算术的分界线。
据载，韦达还以他精湛的数学知识，为国家赢得了荣誉。
当时，比利时有一位数学家，名叫罗梅纽斯，深受国王推崇，国民也深感自豪和骄傲。一次，比利时的大使向法国国王亨利四世夸口道：“你们法国还没有一个数学家能解开我国数学家罗梅纽斯的一个关于45次方程的求根问题。”原来，这道45次方程是罗梅纽斯于1573年在他的《数学思想》一书提出来的。
面对比利时的挑战，亨利四世决定在国内挑选数学家来解开此题，以长国威。谁知找了不少数学教授都找不到答案，国王心里十分烦闷，如同丧权辱国一般。
一天，国王将此题给韦达看，韦达说：“一个相当简单的问题，我马上就能给出正确答案。”因为韦达看出，这个方程是依赖于sin45θ与sinθ之间的关系，所以几分钟内就求出了两个根。国王见了答案，高兴地说道：“韦达是我国乃至全世界最伟大的数学家。”接着便赏给韦达500法郎。
韦达生前写出不少著作，但多数没有出版发行。有一部《论方程的整理与修改》，是在他去世12年后才出版的。在书中，韦达把5次以内的多项式系数表示成其根的对称函数。他还提出了4个定理，清楚地说明了方程的根与其各项系数之间的关系——即韦达定理。此定理至今仍在使用。他还为一元三次方程、四次方提供了可靠的解法，为后来利用高等函数求解高次代数方程开辟了新的道路。
另外，韦达利用欧几里得的《几何原本》第一个提出了无穷等比级数的求和公式，发现了正切定律、正弦差公式、纯角球面三角形的余弦定理等。韦达利用代数法分析几何问题的思想，正是后来的数学家笛卡尔解析几何思想的出发点。笛卡尔说他是继承韦达的事业。
直到1646年，韦达死后的40多年之后，他的全部著作才由荷兰数学家范·施库腾等人整理成书，名为《韦达全集》。
解析几何之父笛卡儿
笛卡儿是法国人，出生于一个贵族家庭，由于孱弱多病，养成了在床上读书的习惯，这使得他有更多的时间独自静静地思考各种关于自然、科学与人的问题。
1617年，荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生，他就是伟大的数学家笛卡儿。
一天，部队开到布雷达城，无所事事的笛卡儿漫步在大街上，忽然看见一群人围在一起议论纷纷，原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说，谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡儿出于好奇心抄下题目，回到军营，专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研，两天后，他终于求得了答案，由此使他数学天才初露锋芒。
荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡儿的才华，劝他说：“你有深厚的数学基础，才思敏捷，很适合数学研究。离开军队吧，我相信你将来会成功的。”
笛卡儿没有离开军队，但仍然迷恋数学，尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题，还有一个很古老的传说：
大约是2300多年前，古希腊的第罗斯岛上，一场可怕的瘟疫正在蔓延，人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求：“万能的神啊，请赐予我们平安吧！”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说：“我忠实的信徒们，神在保佑着你们，只要你们把上供的正方体祭坛，在不改变原来形状的情况下，把它的体积增大到原来的两倍，神就会高兴，就能免除你们的灾难。”
濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛，他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说：“这哪里是原来的两倍，这是原来的八倍了。神不高兴啊！”
人们听后赶忙拆了重建，他们把体积改成了原来的两倍，可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道：“该死的信徒们，你们怎么把祭坛的形状改变了呢，这不是戏弄神吗？当心还有更大的瘟疫！”
惊慌失措的人们急忙去找著名的学者柏拉图，把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画，也同样找不到正确的办法，于是，立方倍积问题便成了一道几何难题。
后来，希腊人又碰到了把一个已知角分成三等份和化圆为方问题（即求一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积）。
从此，立方倍积、三等份角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家，不少人为此呕心沥血，穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。
笛卡儿认真总结前人的大量经验教训后猜想，古希腊三大几何难题，采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢？应该另找一条道路才是。
1621年，笛卡儿退出军界，与数学家迈多治等朋友来到巴黎，潜心研究数学问题。1628年，他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰，进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。
他潜心从事哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究。他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。
一天，疲惫不堪的笛卡儿躺在床上，望着天花板思考着数学问题。突然，他眼前一亮，原来，天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和四周的圆线相交叉一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题，终于找到了答案。他兴奋地爬了起来，迫不及待地把灵感描绘出来。他发现了这样的规律，如果在平面上画出两条交叉的直线，假定这两条直线互成直角，那么就出现四个90度的直角。在这四个角的任一个点上设个位置，立起点的坐标系。
这个发现的基本概念简单到近乎一目了然，伟大发现。它就是建立了平面上点的作为坐标的数（x、y）之间一一对应关系。进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的一一对应关系。从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此，笛卡儿还创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科——解析几何。
解析几何的诞生，改变了从古希腊以来，延续两千年的代数与几何分离的趋向，从而推动了数学的巨大发展。虽然，笛卡儿在有生之年没有解开古希腊三大几何问题，但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙。
解析几何的重大贡献，还在于它提供了当时科学发展迫切需要的数学工具。17世纪资本主义迅速发展，天文和航海等科学技术对数学提出了新的要求。例如，要确定船只在海上位置，就要确定经纬度；要改善枪炮的性能，就要精确地掌握抛射体的运行规律。所有这些，涉及到的已不是常量而是变量。
1650年2月，笛卡儿在瑞典病逝。
盲人数学家创造“欧拉时代”
1707年4月15日，瑞士巴塞尔城附近的里恩村，有一位叫保尔·欧拉的牧师家里诞生了一个男孩，这就是后世称其为“百科全书式的数学家”欧拉。
小欧拉自幼聪颖，7岁那年，父亲把他送到巴塞尔神学校去学习神学。起初，他对上帝创世深信不疑。一次，他问老师：“天上有多少颗星？”老师答不出来，只是说：“天上的星星都是上帝亲手嵌上去的。”于是，小欧拉问：“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”他对上帝的信仰开始动摇，也不专心听课了。不久，学校开除了他。
父亲保尔通数学，见儿子不愿学神学，就开始向他传授数学知识。小欧拉如鱼得水，立刻入了迷。
1719年，欧拉12岁。父亲为了考一考儿子的能力，正赶上家里要修羊圈。于是，他给出了一个固定长度，让欧拉围成一个面积最大的方形羊圈。欧拉想来想去，把它围成了一个正方形。于是，小欧拉“巧围羊圈”的故事不胫而走，被巴塞尔大学的著名数学教授伯努利约翰知道了。这位教授竟亲自出城，找到欧拉的父亲，说要保举小欧拉去大学学数学。老欧拉却说：“教授，我希望他将来学习神学。”
约翰说：“可你知道吗，这孩子是个数学天才，如果去学神学会葬送这孩子的前程。”
在约翰教授的劝说下，老欧拉终于点头了，13岁的小欧拉被巴塞尔大学破格收录了。欧拉不负老师厚望，入学后勤奋好学，广闻博览，又善于独立思考，不久就可以与那些年龄大的同学比肩。他的老师约翰则根据他的特点因材施教，循循善诱，每周六的下午都挤出时间为他个别辅导，使他的学业突飞猛进。17岁时，欧拉成为巴塞尔大学第一位最年轻的硕士。1726年，欧拉发表的论文，荣获巴黎科学院的奖金。
1727年，欧拉由丹尼尔推荐，受俄罗斯女王叶卡特琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院长，做丹尼尔的助手。1733年，丹尼尔回国，欧拉接替丹尼尔的工作，成为数学教授及彼得堡科学院的学部领导人。由于当时俄国统治集团长期陷入权力之争，无心科学事业，科学院的生存岌岌可危。1733年至1741年，欧拉的工作条件相当艰苦。他的许多不朽著作，都是在“膝上坐着孩子，肩上趴着猫”的情况下写出来的。欧拉还担负着许多社会责任，如承担菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定，为俄国学校编写教材，帮助政府绘制地图，制定度量衡标准，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析……由于他长期疲劳工作，又长期观测太阳，使他的视力迅速衰退。1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明了。就在这时，有关“七桥问题”传入彼得堡科学院，欧拉出于对数学的热爱，又潜心研究起“七桥问题”。
“七桥问题”
希腊人留下的一道难题。18世纪初，波罗的海沿岸的古城哥尼斯堡（今加里宁格勒），普雷格尔河横贯市区。这条河在市区内分成两个支流，把奈发夫岛截成两段并把两岛环抱起来，形成了一个美妙的“8”字。有好事者根据古人的“七桥问题”，就在这里建起了七座桥，把两个小岛和两岸连接起来。
于是，这个问题直观地摆在游人面前：一个人怎样才能一次走过七座桥，而且每座桥只经过一次，最后又回到出发点。
从此，无论是稚气未退的少年还是白发苍苍的老者，都想试一试自己的智力。他们在这七座桥上穿来走去，但都没有一个人能成功过。因此，这七座桥便很快地名扬欧洲，又带来一批批游客。但是，又有多少年过去了，还是没人成功。
这时，29岁的独眼青年欧拉也来到了哥尼斯堡，他在桥上走了几次之后，想道：“千百万人的无数次失败，是不是说明这样的走法根本就不存在呢？”
猜想是需要证明的。于是，欧拉埋头对这个猜想进行证明。他先用“穷举法”，即把所有可能的走法列成表格，逐一检查哪种走法能行得通。结果他发现这是一件相当繁琐的事情，要列出7×6×5×4×3×2=5040条路线来！这太困难。另外，他又想到，如果存在更多的桥，或一个城市有更多的街道，那可如何列呀？
于是，他换了一种思维方式，想到了莱布尼茨的“位置几何学”。经过细心推想，他把两个小岛和两岸陆地看成A、B、C、D四个点，而把7座桥看成是7条线，就画成了一幅图。
由于此图有点像蝉，所以后人称之为“欧拉金蝉”。通过这个图形，欧拉严谨地证明：不可能不重复地一次走遍这7座桥。
很明显，“七桥问题”是一个几何图形问题。但是，在此之前的传统几何学却把它排除在外，因为人们所熟知的几何理论，都是与“量”（长短、大小等）有关，而这个问题居然与“量”无关。“七桥问题”提出了一个新的几何学的分支——“拓扑学”。欧拉一举证明了“七桥问题”一时引起人们的敬慕和惊叹，求教的人络绎不绝。后人称他为“拓扑学的鼻祖”。接着，欧拉又继续研究，他的几何学超出了欧几里得的范围，从而奠定了“网络论”几何学科的基石。
1741年，欧拉不能忍受俄国统治者的昏庸腐败，离开了生活14年的彼得堡，踏上了普鲁士国土。1759年，他成为柏林科学院的领导人，为普鲁士王国解决了大量的社会实际问题。如社会保险、运河水力、造币规划等。他成功地将数学应用到各种实际的科学和技术领域。
1762年，俄国的叶卡特琳娜二世继位。在这位有为的女王敦请下，欧拉重返彼得堡，继续他的研究和工作。1766年，欧拉的左眼又失明了，使他完全成了一个盲人。但他仍以顽强的毅力，采用口述，由别人记录的方法，坚持他的研究。
1777年，更大的不幸降临，欧拉的家里不慎失火，他的著述几乎全都变为灰烬。这对于70岁高龄的欧拉来说，是一个致命的打击。然而，欧拉却以惊人的毅力，重新开始他的著述。他的头脑里如一卷百科全书，他不停地口述，助手为其记录，居然把他葬身火海的著作全都重新写了出来，而且还进行了一次订正。1783年9月18日，欧拉走过了76年的历程与世长辞。他死后，数学家们把他的著作编成全集出版，竟达72卷之多。
在欧拉的著作中，“无限小分析”方法是从欧拉开始的；变分学基础是欧拉方程；拓扑学中有欧拉数；刚体力学有欧拉角；复变函数中有欧拉函数；数论中有欧拉定理……后人称欧拉为“数学分析的化身”。在世界数学发展史上，人们把18世纪称为“欧拉时代”。
独领风骚的“数学王子”高斯
1777年4月30日，德国的布伦瑞克城一个引水站站长家里新生了一个男孩，他就是卡尔·弗里德里希·高斯，一位天才的数学家。
高斯从小聪明好学，对数学有着得天独厚的天赋。3岁时，每当父亲和其他大人们计算水的账目时，他都在一旁聚精会神地听着看着，对枯燥的数字有无限的兴趣。有一次，当他的父亲哥布哈德刚刚算完一笔支出账，就听小高斯说：“爸爸，这笔账您算的不对！”
爸爸吃惊地看着3岁的小儿子，似信不信地把账重算一遍。令他吃惊的是，自己算的账真的错了！但他心里想：“这也许是一次巧合吧。”
后来，这种“巧合”越来越多，哥布哈德才知道他的儿子是个天才。由于生意场上的失意，老高斯渐渐地颓废下去，时常用酒打发时光，他就把算账的工作全部推给了不足10岁的小高斯。而小高斯不管账目多么繁琐复杂，都能运算自如，表现出超常的计算能力。
读小学时，小高斯特别迷恋算术课。一天，数学老师伯特纳夹着手杖来上算术课，他对同学们说道：“现在给你们出一道题，请计算出从1到40所有数字的总和。谁做好了，就把答案送到我的讲桌上来。”
于是，孩子们都埋头书桌，教室里鸦雀无声。伯特纳老师悠然自得地放下手杖，坐在讲桌前看着这些孩子们。
谁知他刚刚坐稳，就见小高斯拿着练习本向他走来，轻松愉快地说：“老师，我做好了。”
伯特纳心想，他做得这么快，错误一定不少。便说：“放下吧！”心里在想，等都交全了，我再教训这个毛躁而神气十足的孩子。
过了许久，孩子们才把练习本全交上来，伯特纳特意拿起最先交的高斯的练习本。他看了一会儿便惊呆了！只见小高斯的练习本上整齐地排着20组加法：1 40，2 39，3 38，4 37……，然后用一组乘法：41×20.得出了正确答案：820.无疑，这答案是正确的。老师望了一眼他想批评又批评不了的高斯，内心却受了很大震动。事实上，小高斯是在没有一点儿概念的情况下，发现了等差数列的规律及计算方法。
从此，伯特纳老师对小高斯刮目相看，并尽力地培养他。每当去汉堡时，都要买回各种数学课本给高斯看。这一切，使小高斯的数学才能大增。不久，小学还没毕业的高斯，其计算才能就引起了当地各界人士的注意。14岁时，高斯被引荐给当地最有名望的人物，布伦瑞克城的大公卡尔·费尔南多，费尔南多成了高斯的长期保护人。
在费尔南多大公在世的那些年里，高斯每年都可以领到薪俸。由于有了这笔钱，生活有了保障，高斯就全身心地投入到研究工作中去，24岁的高斯出版了《算术研究》这一科学巨著，开创了近代数论，得到数学界的一致好评，奠定了他作为19世纪最伟大数学家的地位。
1807年，高斯应哥廷根大学的邀请，担任了该校的数学教授和天文台台长。从此他在哥廷根大学从事研究直至生命的终结。在以后的岁月里，他对非欧几何、复变函数、概率论、椭圆函数论、数学统计等都有重大贡献。他以治学态度认真严谨著称。虽然，早在1800年他就发现了椭圆函数，1816年发现了非欧几何。但他一直在做这些重大发现的完善工作，一直没将这些发现公布于世。直到他死后，人们才从他日记的遗稿中发现了这一切。
高斯的著作非常丰富，但在他生前并未全部发表出来。直到第二次世界大战前夕，才由哥廷根大学的学者们对其遗著进行整理研究，出版了长达11卷的《高斯全集》。
高斯还在天文学和物理学上有很高的成就。他创立了一种可以计算星球椭圆轨道的方法，可以极准确地预测出行星的位置。由他计算出了一颗即逝的谷神星轨道，曾轰动了天文学界。高斯对电磁学的贡献也是巨大的，他提出了磁场的“高斯定律”。
高斯逝世于1855年，终年78岁。和他同时代的科学家，几乎都从他那里得到过教益。一位科学家曾高度评价他说：“如果我们把19世纪的科学家想象成为一系列的高山峻岭，那么使人肃然起敬的巅峰就是高斯。”人们还常常把高斯比作一座桥，认为一个数学家不论来自哪里走向何方，他都必须经过高斯这座桥。
高斯逝世之后，哥廷根大学为他在校园内建了一座塑像，底座是一个正17边形的台基。原来，高斯临终时留有遗嘱，希望在他的墓碑上刻上正十七边的图形。因为他是在用直尺和圆规作出了正十七边图形后才献身数学事业的。
帕斯卡
帕斯卡是早熟的天才数学家、18世纪极其重要的哲学家帕斯卡在发表《圆锥曲线论》（1640年）后，全部精力不但集中在制造一种计算机械上，而且集中在后来的关于概率计算和摆线（由位于圆周线上的一点的运动所决定的曲线）规则的研究中，后二者源于莱布尼茨关于微积分运算的不断总结。
在物理领域，由托里拆利的气压计的测量结果引发的真空研究最为突出。经过多次实验，帕斯卡在《关于真空的新实验》（1647年）一文中对之作了说明。他在文中谨慎地提出假想，认为讨论的这个现象，用空气的重量比用亚里斯多德反对真空存在可以得到更好的解释。那位大自然中不可能存在绝对真空的捍卫者、基督教神父诺埃尔的强烈反应迫使帕斯卡去做更完善的实验。这样，在1648年终于诞生了著名的多梅火山丘实验。在位于多梅火山脚下的城市里以下列方法，做了这样一次实验：首先，精心测出浸在同一个容器中的两根同样的玻璃管中的水银高度，然后，把两根玻璃管中的一根固定住，并使其保持原来的状态。接着，再测出被带到山顶的另一根玻璃管中水银的高度可能发生的变化：空气的压力在随着试管所在位置的升高而降低，是否玻璃管中的水银高度也随之而下降呢？结果，第二个试管中的水银高度低于留在城里的第一个试管的水银高度。因此，他在《3个拇指和一条线》一文中指出，毫无疑问，气压是存在的。
艾萨克·牛顿
牛顿1642年12月25日生于林肯郡的伍尔索普。1岁时丧父。1661年，被剑桥三一学院收为贫困生。在那里，不久就结束了学业。1665年，获大学学士称号。其间，一场可怕的鼠疫传染病迫使他回故乡爱尔索普躲避。1665和1666年之间，他在这里他打下了后来著名的三大发现的基础：微积分运算、光学理论和万有引力。1667年，回到剑桥两年后，他被授予数学教授职位——牛顿向（接受他为成员的）皇家学会提出了第一篇关于光学的学术论文，发表在1672年的《哲学会报》上。这篇论文被数学、地理学、物理和化学的不同流派、不同学科的研究刊物转载。从1684年起，牛顿开始撰写《自然哲学的数学原理》一书（1687年），书中阐明了力学的基本原理，并论证了万有引力定律。接踵而来的是以从事显赫公职为特点的岁月：1689年，被任命为国会议员；1695年，任制币厂检察官；1703年，任皇家学会主席。这个职务他一直担任到去世。翌年，《光学》一书首次出版，其中包括附录《论求积分》，第一次完整也阐明了流数计算。这位伟大的英国科学家死后尽享哀荣。1727年3月20日，他以一位国君的灵柩良硷行葬。“道法自然，久藏玄冥。天降牛顿，万物生明。”诗人亚力山大·波普就是用这样的诗句纪念他的。
子承父业的鲍耶
鲍耶1802年出生，他的父亲也是一位数学家，父亲年轻时和高斯同在哥根廷大学读书，他们还是要好的朋友。鲍耶的父亲曾试图证明第5公设，当然是以失败告终。他深知其研究的难度。鲍耶从事数学研究，可谓是子承父业。更相似的是，在读大学时，鲍耶也力图证明第5公设。这当然引起了父亲的注意，并且对鲍耶大加劝阻。他在信中语重心长地对儿子说：“我求求你，就是你不要再做克服平行线理论的尝试了；你在这上面耗费了自己的全部时间，你不能证明这个命题。不必告诉我你用的方法或其他什么方法去企望克服平行线理论了。我彻底地研究了一切方法，还没遇到哪种想法是我没有深入，探讨过的，我走过了整个毫无希望的漫漫长夜，并且把一生的全部机遇、全部欢乐都埋葬在其中了。看在上帝的份上，我求求你，放弃这个题目吧，对它的提防不应小于感情上的迷恋，因为它也会剥夺你一生的所有时间、健康、平静和一切幸福。”然而，鲍耶并没有听从父亲的劝告，继续研究的结果是，他写出了抛弃第5公设的论文《绝对空间的科学》。1825年，鲍耶开始建立非欧几里得几何学；到1839年，当父亲出版自己的著作时，鲍耶的26页的论文附录在书的后面。其中讲述了他的几何研究成果。实际上，这26页论文的价值远远超出了该书其他部分的价值。鲍耶发表了他的几何研究之后，他和父亲并不知道，早在3年前，罗巴切夫斯基就发表了类似的研究内容。
罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基1793年出生在一个农民的家庭，父亲去世后，他的母亲仍将他送入学校接受教育。进入喀山大学之后，罗巴切夫斯基显露出了他的数学才华，并深得教授们的青睐。大学毕业后，罗巴切夫斯基留在母校从事数学的教学与研究工作。
当时，欧洲对几何学的教材改革对罗巴切夫斯基有很大的影响，并且吸引了罗巴切夫斯基的注意。在几何学的研究中，罗巴切夫斯基很不满意作为欧几里得几何体系中基础的第5公设。开始，罗巴切夫斯基也试图证明第5公设，虽然未能获得成功，但是他依然在思索这一问题，在孕育新的思想。后来，他回忆起当时的情景时写道：“大家知道，直到今天为止，几何学中的平行线理论还是不完全的。从欧几里得时代以来，2000年的徒劳无益的努力，促使我怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（譬如天文观测）来检验的。最后，我肯定了我的推测的真实性，而且认为困难的问题已经完全解决了。于是，我在1826年写出了关于这个问题的论证。”
的确如此，1826年，罗巴切夫斯基首先在喀山大学数理系发表了他的非欧几里得几何理论。这个理论非常奇怪，首先他将第5公设改造成新的公设，即：
通过一条已知直线外一已知点，至少可以画两条直线平行于该直线。
把这个公设同欧几里得的其他公设合并在一起，就可以得到一种新的奇特的几何体系。其中有些命题的结论是很奇怪的，例如，罗巴切夫斯基几何的三角形，其内角和是小于180度的。
20多年之后，德国数学家黎曼改造的第5公设则写作：
通过已知直线外一点，不能画一条直线与已知直线平行。
同罗巴切夫斯基几何不一样的是，黎曼几何的三角形，其内角和是大于180度的。
然而，在鲍耶和罗巴切夫斯基之前，伟大的数学家高斯已经构造出非欧几里得几何，非欧几里得几何这个名字就是高斯最先使用的。
命运多舛的数学之星
1832年5月30清晨，在法国同提勒的一个湖边，有位农民发现一个受了枪伤的青年躺在地上。这位好心的农民立刻找来村民，把这个青年抬进了医院。可惜，由于他伤势过重，流血过多，第二天就死去了。过后，人们才知道，这位青年不满20岁，是因为与人决斗而死的。不久，人们又知道，这位青年精通数学，留下了虽然是薄薄60页的书稿，但却有着十分重要的科学价值。又过了数年，数学界、物理学界和化学界的学者们猛然发现这位早亡的不满20岁的青年创立了一个数学上的新分支——群论。这一理论可以使人们深入地探讨各种不同的学科，诸如算术、结晶学、粒子物理以及鲁比克魔方的翻法……能应用于数、理、化各个领域，因此，法国人把他誉为“法兰西科学之光”。这位19岁的青年就是埃瓦里特·伽罗华。
伽罗华1811年10月26日出生于巴黎近郊的布拉伦镇。父亲是一位热衷民主共和的政治家，母亲是一位受过良好教育的法官的女儿。12岁时，他考入一所著名的皇家中学。在中学喜欢上了令同学们生厌的数学，之后便一发不可收课内课外阅读了大量数学书籍。其中，他居然用了一周时间，一口气读完了勒让德的经典著作《几何原理》。
有一天，主持课外数学讲座的理查老师，为了刹一刹课外活动小组个别学生的傲气，故意给学生们留了一道数学难题让他们课后去做。伽罗华整整做了一个通宵，终于在第二天凌晨把这道题做完了。他敲开理查老师的家门，理查披着睡衣走出房间，听说伽罗华来交作业，就冷淡地说：“留下来我看看吧，恐怕你们这些人还没有谁能完成这个题目！”
伽罗华走了后，理查又忙别的事情去了。直到这天晚上，他才无意中拿起了伽罗华的作业随便看上一眼。谁知不看则已，一看便不能释手，最后竟大呼起来：“奇才，奇才！”
原来，理查是从数学大师高斯的著作思考题中找出了一道怪题，此类题就是造诣很高的成年数学专门人才才能做出来。谁知伽罗华居然做出了几个不同解法。他被这少年的超人智慧折服了，他暗下决心，一定要下大力气培养他。
当理查问伽罗华做此题的感受时，伽罗华平静地说：“高斯提出的问题我已经考虑好久了。其中的习题有的我已经做了好几遍了。”当伽罗华讲述他理解此题的经过和思路时，讲到精彩处，理查情不自禁地鼓起掌来。他对其他教师说：“伽罗华最适宜在数学的尖端领域中做研究工作。”之后，他帮助伽罗华撰写了第一篇数学论文《循环连分数定理》，并推荐在《纯粹与应用数学年鉴》上发表。
16岁时，伽罗华考入巴黎师范大学。入学半年，他向法国科学院提交了有关群论的第一篇论文。不久，他又以超人的才气完成了几篇数学研究文章，以应征巴黎科学院的数学特别奖。谁知命运对他极不公正，使他连遭厄运。
当科学院第一次审查会开始时，法国数学家柯西是一位心胸狭隘的人。当他打开公文包时，耸耸肩，却说：“非常遗憾，伽罗华的论文不知怎么丢失了。”于是审查会不得不草草收场。伽罗华还曾向法国科学院寄过几篇数学论文，经手的人是常务秘书傅立叶。傅立叶也是一位大数学家。岂知事不凑巧，傅立叶接到手稿后不久去世了，人们在他的遗物中也没有找到伽罗华的手稿。
1831年1月17日，科学院第三次审查伽罗华的论文。主持人是大数学家泊松。泊松出于傲慢与偏见，认为伽罗华只是一个普通高校的普通大学生，难有什么创见，因此没有认真听伽罗华的论文宣读，便草率地下了一个结论：“完全不能理喻。”
尽管命运如此不公，但伽罗华仍继续他的数学研究。他涉足了方程论、群论、可积函数等众多领域，创立了“伽罗华理论”，为群论打下了坚实的基础。除此之外，他还在数学中建立了许多概念，他的研究成果在大量的、各种各样的数学研究中得到广泛应用。在他的著作基础上，产生了许多全新的数学分支……
伽罗华还是一个倾向民主共和的积极分子。为了纪念法国人民攻占巴士底狱，他参加了反对复辟王朝的群众游行示威，并因此被逮捕，在狱中被关押8个月。
就在他出狱不久，为了一桩至今仍是谜团的恋爱纠纷，被迫接受决斗，因而惨死枪下。
也许他知道此次决斗凶多吉少，于是他留下了遗言给他的同伴。信中写道：“我请求大家不要责备我不是为自己的祖国而献出生命……苍天作证，我曾经用尽办法试图拒绝决斗，只是出于迫不得已才接受了挑战。”
他还在自己留下的60页数学手稿中留下了字条：“这个论据需要补充，现在没有时间。”
伽罗华英年早逝，无疑是数学界的一大损失。一些大学者们认为，他的死，“至少使数学发展推迟了几十年。”
计算机之父
约翰·冯·诺伊曼是20世纪最杰出的数学家之一。由于他在研制世界上第一台电子数字计算机方面做出了巨大的贡献，被人们誉为“计算机之父”。
约翰·冯·诺伊曼的父亲为犹太人，是位银行家，曾被皇帝授予贵族封号。这个封号就是他家姓中Von（冯）的来历。
冯·诺伊曼从小聪明过人，记忆力很强。据说他六岁就能心算七位数的除法。19岁就掌握了微积分。他10岁时到学校读书，数学老师发现了他出色的数学才能，说服他父亲聘请数学家菲克特作他的家庭教师，以尽快提高他的数学水平。这一招儿果然奏效。中学毕业时，冯·诺伊曼和菲克特合作写了第一篇数学论文。次年，他通过了专门考试，成了一名数学家。
冯·诺伊曼心算能力极强，思维敏捷。据他的另一个老师、著名数学家波利亚回忆说：“约翰·冯·诺伊曼是我惟一感到害怕的学生。如果我在讲演中列出一道难题，那么当我讲演结束时，他总会手持一张写得很潦草的纸片，说他已把难题解出来了。”冯·诺伊曼兴趣广泛，除了数学，他还喜欢历史，他会讲流利的英语、法语、德语，他熟悉拉丁语和希腊语。他喜爱下棋，为人幽默。
1927年至1929年，冯·诺伊曼在柏林大学当不领薪金的义务讲师。在这期间他发表了集合论、代数学和量子理论的论文，在数学界崭露头角。
1929年10月，他接受美国普林斯顿大学的邀请，到了美国。1931年被任命为终身教授，1933年加入美国国籍。
在普林斯顿大学期间，冯·诺伊曼结识了许多世界第一流的科学家，如爱因斯坦、外尔等。他和控制论的创始人、著名数学家维纳经常在一起讨论计算机的研制问题。他和莫根斯恩研究对策论，合作写出了《博弈论与经济行为》一书，该书是数理经济学的经典著作。
在工作休息时，他常和科学家们打扑克。一次，有位数学家赢了冯·诺伊曼十元美金，他用五元钱买了一本《博弈论与经济行为》，把剩下的五元钱贴在该书的扉页上，与冯·诺伊曼开个玩笑，表示自己胜过博弈论大师冯·诺伊曼。他哪里知道，冯·诺伊曼总是在思考问题，心算推理，打扑克时也难于把精神都集中在玩上。
1940年后，冯·诺伊曼参与了许多军事方面的研究工作。他担任美国陆军弹道实验室的顾问。他对原子弹的配料、引爆、估算爆炸效果等问题，提出过重要改进意见。
在科学技术高度发展的时代，冯·诺伊曼深深感到电子计算机的重要性。他参观了美国费城宾夕法尼亚大学正在研制的电子计算机，指出它的缺点。1945年3月，冯·诺伊曼起草了一个设计报告，确定计算机采用二进制，用电子元件开与关表示“0”和“1”。用这两个数字的组合表示任何数，可以充分发挥电子元件的开关变换，实现高速运算。计算机还要采用存储程序。整个计算机由五部分组成：计算器、控制器、存储器、输入和输出。
1946年以后，冯·诺伊曼在普林斯顿高等研究院领导研制现代大型电子计算机。1951年制成一台每秒钟可以运算百万次以上的电子计算机。他还将电子计算机应用于核武器设计和天气预报上。
冯·诺伊曼拼命地工作，在许多重要的数学领域内取得了重要成果。1955年，发现他患有癌症，癌细胞正在扩散。他以惊人的毅力克服癌症带来的痛苦，研究人工智能问题，写出了讲稿《计算机与人脑》，留给后世。
冯·诺伊曼于1957年2月8日去世，享年53岁。
家喻户晓的华罗庚
在中国有一个几乎家喻户晓、在国际数学界久负盛誉的人，他就是华罗庚。
华罗庚教授出生于江苏省金坛县的一个贫寒之家，1924年初中毕业后，在上海中华职业学校学习不到一年便因家贫失学。但他凭着强烈的求知欲和坚强的毅力，不管寒冬或酷暑，白天帮家里干活，晚上在油灯下刻苦攻读，孜华罗庚像孜不倦地钻研深奥的近代数学。功夫不负有心人，华罗庚于1930年在当时全国最重要的科技刊物《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到数学家熊庆来的重视，并被邀请到清华大学工作。起初，他做图书管理员，在此期间充分利用清华大学丰富的图书资料，如饥似渴地攻读一门又一门数学课程；后转做教学工作，并很快由助教升为讲师。1934年，华罗庚成为中华教育文化基金会研究员。1936年留学英国，在剑桥大学学习。在此期间，他连续发表了几篇有重要学术价值的学术论文，引起了世界数学界的注意。1938年，华罗庚回到祖国，由于他的卓越成就，受聘为西南联合大学教授。此后他又应邀在苏联、美国的著名大学和研究机构任大学教授、中国科学院数学研究所所长和副院长等。
华罗庚教授一生成就辉煌，他在世界级刊物上发表过150多篇论文，写了9本书，其中有许多重要成果至今仍居世界领先水平。他还培养了一批中国数学界的骨干和年轻的新一代数学家，如段学复、闵嗣鹤、万哲先、王元、陈景润等。50年代～60年代，根据中国国情和国际潮流，华罗庚教授积极倡导应用数学与计算机的研制；并亲自去全国各地普及应用数学知识与方法，为经济建设做出了巨大贡献。华罗庚教授的卓越成就，使他成为振兴中国近代数学的带头人和世界著名的第一流大数学家，他的名字与少数经典数学家一起被列入美国芝加哥科技博物馆等著名博物馆中。
惟一获沃尔夫奖的华人数学家陈省身
在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖。菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家。到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一。他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖的华人数学家。
陈省身教授是浙江嘉兴人，现定居美国。他15岁就考入了天津南开大学，后进入清华大学研究生院，1934年完成学业并赴德国留学，仅用了1年零3个月便获得了汉堡大学博士学位。之后又赴法国师从微分几何学泰斗嘉当，由此开始了他在整体微分几何领域的开创性工作。
除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文俊等。
近年来，陈省身教授积极致力于中国数学研究的开展，多次回国讲学，举办讨论班，指导各种学术活动，并于1985年创办南开大学数学研究所，亲自担任所长。展望21世纪，陈省身教授预言中国将成为世界数学大国。
摘取数学王冠明珠的陈景润
在现代数学史上，陈景润名字与哥德巴赫猜想紧紧联系在一起。被誉为光辉成就的“陈氏定理”将哥德巴赫猜想的证明推进了一大步陈景润经过多年努力，在哥德巴赫猜想研究的问题上已逼近顶峰。使中国在这一领域的研究上居世界领先地位。
1953年，陈景润毕业于厦门大学数学系。由于他对数论中一系列问题的出色研究，受到华罗庚教授的重视，被调入中国科学院数学研究所工作，后来就有了“罗庚慧眼识景润”的佳话。虽然当时的生活条件非常艰苦，在仅有6平方米的小屋里，陈景润坚持埋头于哥德巴赫猜想的研究，经过无数个日夜、几度寒暑的艰苦努力，终于取得了震惊世界的成就。然而，陈景润付出的努力也是惊人的，用掉的演算草稿纸可以装满几个麻袋，并且积劳成疾。即使如此，躺在病榻上的他，仍锲而不舍地耕耘着。陈景润在对数论中其他著名问题，如高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题、华林问题等的研究上也做出了重要贡献。
哥德巴赫猜想
1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3 3，14=3 11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3 3 3，15=3 5 7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为a、b的两个自然数之和，简记为“a b”。1920年挪威数学家布龙证明了“9 9”；以后的20几年里，数学家们又陆继证明了“7 7”，“6 6”，“5 5”，“4 4”，1956年中国数学家王元证明了“3 4”，随后又证明了“3 3”，“2 3”。60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1 3”。1966年中国数学家陈景润证明了“1 2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗！
费马大定理
300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：
“设n是大于2的正整数，则不定方程xn yn=zn没有非零整数解”。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著名的定理——费马大定理。
费马纪念碑费马（Pierre de Fermot 1601年～1665年）是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律，以当律师谋生，后来成为会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时发明了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但他只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这惟一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展。特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学法尔廷斯证明了不定方程xn yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一菲尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
