数学的起源
数学是研究客观世界数量关系及空间形式的科学。
数学起源于人类文明的创始阶段。
大约在300万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动是集体进行的，所得“产品”也平均分配。这样，古人渐渐产生了数量的概念。他们可以用一块石子代表一只野兽，或用绳子打一个结代表一头捕获的猎物，或打一个大结代表一头大兽，打一个小结代表一头小兽，如此等等。数量的观念就是在此过程中，逐渐发展起来的。
在距今大约五六千年以前，在非洲尼罗河流域出现了一个伟大的文明国家——埃及。埃及人是世界上较早从事农业生产活动的。由于尼罗河定期泛滥，淹没大片农田，埃及人通过古埃及数字长期的观察，发现每年7月尼罗河定期泛滥，11月份洪水逐渐退落，而且这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择洪水退落后，在淤泥上播种，在6月洪水来临前收割，以此获得好的收成，这是通过天文观测和水文观测来实现的。另外，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人，承租人每年将收成的一部分交给土地所有者——国王。如果洪水冲垮了他们分得的土地，国王便从出土的甲骨上来看，中国古代早就发明了记数符号派人前去丈量受灾的土地面积，适当减少交租的数量。这种土地丈量的方法，为几何学的诞生奠定了基础。
数学正是从打结记数、天文和水文观测、土地测量的实际需要逐渐发展起来的。
继埃及而崛起，世界上还有巴比伦、印度、中国等几个伟大的文明古国雄踞于亚洲，它们分别都产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今两千多年以前，古希腊人也积累起较为丰富的数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学。“数学”的希腊文原意就是“科学或知识”的意思。他们特别注意“论证”在数学中的应用，因此欧几里得的几何学几乎成了希腊数学的代表。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人又继承了他们的文化，后又传回欧洲，使数学重新繁荣，并最终导致了近代数学的创立。
数的来历
原始社会，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、鱼、木棒、石头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种对数的认识往往与实物联系在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮，人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体，三棵树和三把石斧都是三个个体的一堆等，这就是最初的数的概念。
最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分别伸出1，2，3，4个手指，遇到5个物体便伸出一只手，10个物体伸出两只手。当数目很多时，就用小石子来计数，10颗小石一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍，称为算筹。但是，大多数的原始人遇到大一些的数目，往往无法区分。
用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数，难以长时间记录一个数字。因此，古人发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号，慢慢就变成了最早的数字符号（数码）。
现在通用的数码是印度—阿拉伯数码，用十进位制来表示数。用0，1，2……9十个数码可表示任数，低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及，数码记号是这样的：
古埃及3，4，5的写法一个数中若某位数超过1时，就要将它的符号重复写若干次。如345就要写成如下图，写更大的数则是一大串符号了，这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合，才能表示100以内的数目，非常不便。
算筹最初是用树枝做成的，后来用竹棍做，也有用象牙制成的除了十进制以外，还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用，十进制终于占了上风。
数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。
我国数的概念起源
数的概念是人们长期在数目观念的基础上所产生的认识上的飞跃，因此数的概念的起源是相当早的。
（1）最早的数目观念
数的概念在我国的起源，可以追溯到原始社会。当时人们对数目的认识，最初是从“一”和“多”开始的，后来才逐渐有“二”、“三”等数目观念。
在出土的原始社会文物中，我们可以看到一些与数目有关的内容，例如河姆渡的骨耜有两个孔，半坡的尖底提水器有两个耳。在其他陶器上有两耳或三足，在河姆渡的陶钵底上刻着四叶，这是形成“二”、“三”、“四”等数目的观念的依据。半坡的陶器上有整齐排列的点点，由一个到八个或到九个，可以说是“八”和“九”的反映。还有一些陶器上有近似等份圆周形的刻纹，很规则，有的正好为八十等份，如河北磁县下潘汪村出土的四五千年前的陶器上就有这种例子。至于是否有意识地进行等份和有较大的数目观念，不好确定。
（2）原始记数法
《易·系辞传》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，说明结绳记数和刻划记数是当时带有普遍性的记数方法。至于中国的结绳起源于何时，很难回答，有些古籍上说轩辕（黄帝）、伏羲、神农等很长一段历史传说时代都是“结绳而用之”，或说伏羲“结绳而治”。如果说结绳是我国新石器时代广泛使用的记数方法的话，恐怕是不会错的。三国时吴人虞翮在所著《易家九义》中引汉郑玄的话说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡。”这里把结绳的用法说得很清楚。现已找不到早期结绳的实物资料。
刻划记数在我国也起源于原始社会。根据现有考古发掘资料，最早可以追溯到一万多年前的“山顶洞人”。在“山顶洞人”的遗址中出土了四个带有磨刻符号的骨管，可能是一种刻划记数的实物。
这四个骨管上的符号为横向磨制，形状多数是圆点形，有两个长圆形。其中有一个围着骨管形成半圆，展开成平面，则为一长条形。骨管A，相对的两个侧面分别有一各圆点和两个圆点，共三个；骨管B，相对的两个侧面，一面三个圆点，一面两个，共五个；骨管C，相对的两个侧面，一面两个，一面一个，在另外一侧又加一个长圆点，共四个；骨管D，只有一个长条形的符号。从这些符号的排列方式，我们可以推测出“山顶洞人”对于数目的一些观念。“山顶洞人”最基本的数目是一，用一个圆点表示，两个圆点并列的是二，三个圆点并列的是三。同时可以看到，骨管对应两侧的符号带有累计的意义。一个加两个是三个，两个加三个是五个。长圆形可能是代表：“十”。
刻划记数的方法沿用了较长时期。到了原始社会末期，甚至到了奴隶社会和封建社会，都可以找到这方面的资料。例如在青海省乐都县柳湾原始社会末期的遗物中有带刻口的骨片四十件。在骨片的中部一侧或两侧刻有三角形小口，其中的三十五件上各有一个，三件上各有三个，两件上各有五个，被认为“大约是用作记事、记数或通讯联络用的”。这样解释有道理。刻口的排列方式和山顶洞人的骨管刻划非常相似：三个口的是在骨片的一侧有一个口，另一侧有两个口；五个口的是一侧有两个，另一侧有三个，这么多带刻口的骨片，说明它们不但用于记数，而且有可能用于简单的计算，由一到五十四之间的任何一个数都可以用这些骨片迅速地摆出，比如“四”用一个带三个口的和一个带一个口的骨片代表，“十五”用两个带五个口的、一个带三个口的和两个带一个口的代表等等。把这种骨片看作是一种原始的计算工具是并不过分的。
（3）数目字的出现
在结绳和刻划的基础上，进而形成数目字。在半坡出土的陶器上刻划的符号中就包含了数目字，计有（五）、“∧”（六）、（七）、（八）、“｜”（十）、“｜｜”（二十）。在陕西姜寨出土的陶器上也有数字符号，比半坡的多（一）、“｜｜｜”（三十），而少。这也是一种十进制系统，与前面的记数法完全相同。在距今四千年前的上海马桥遗址出土的陶片上有“X”、“｜”和相当于五、一（或十）和七。年代与马桥差不多或稍晚的山东城子崖出土的陶片上刻有五个数目字即相当于七、十、十二、二十、三十，后三个数是合书。
事实说明，约四千年前我国的数字写法发生了一次重大变化，如变成了“X”，“｜｜”变成了“∪”，十的倍数采用“合书”形式，对后世影响很大，很显然，这种改变有明显的道理，因为原来的写法容易发生混淆，如，与，“｜”、“｜｜”、“｜｜｜”与“一”、、“≡≡”孤立来看就分不清了。通过长期实践，当人们发现这种混淆时，必然要想到改变写法。城子崖的数目字与甲骨文早期为近，和殷文化是一个系统。但是比甲骨文早数百年到一千年。
浅近的几何知识
几何的起源，在我国同样很早，它萌芽于旧石器时代，或许比数目观念的起源还要早。因为人们在从事生产或其他活动中，自然界一些物体的形状、大小和位置关系逐渐反映到人的头脑中来，人们通过不断地思考、抽象，便有了形的初步观念。
（1）石器工具的几何形状
原始人制作石器的目的是把它作为工具使用，制造时必然要考虑大小和形状。形状思想的产生和数目观念一样，要有个过程。以自然的形状为模特儿，经过反复观察、思考而形成某些简单形状的观念。如观察一些圆形水果可以产生球的观念，观察一些平展植物叶子和平静的水面容易形成平面的观念，观察一些直的树干和直的树枝容易形成圆柱或直线的观念，等等。从观察自然物产生的简单几何观念用来考虑石器的形状，再根据要制作的石器的功能确定采取什么形状和大小。用于砍削的石器要做得平一些，象石刀、石斧等属于这一类。它们的每一个面都是近似的平面。北京猿人使用的石器中有很多片状的，还有考古学上称为尖状器的石器，从几何形状来说，是一种近似的锥体。在山西省襄汾县丁村发现了一批几万年前原始人制造的球形工具。其中最大的重量在1500克以上，最小的在200克左右，可能是用于打猎的武器，可见早在几万年前，我们的祖先已经有了球的观念。考古工作者还发现时代较晚的许多棒状石器，如在黑龙江省巴尔虎左旗和吉林市郊头砬子等地新石器遗址发现的石棒状物，有扁的也有圆的，比较规则，说明柱体观念已有了进步。
从发掘的石器上还可了解到原始人的其他几何观念。例如1974年在云南省云县忙怀新石器时代遗址中发现的一百多件石器中，有一件圆饼状的石钻，在另一件石器的平面上有纵横交叉的方格纹，说明在五、六千年前人们已经有了圆、平行和垂直等几何观念。
从各种不同形状的石器中，反映出原始社会随着社会生产的发展，人们逐渐有了平面、球、圆、柱、锥、平行、垂直等许多初等几何观念，是几何在我国萌芽的一种表现。
（2）陶器形状特征
陶器在新石器时代占重要地位。石器的形状在陶器上有了发展，多数器物的水平截面基本都是圆形的，口和底也多为圆形。如河姆渡出土的陶器大都是这种形状，有的敛口釜的外沿呈现多边形。
半坡新石器遗址出土的陶器，其几何形状丰富多采。三足陶器，除了反映出“三”这个数目外，还说明当时人们发现三足具有稳定性的特点，这是一个很重要的发明。在半坡遗址出土的大批陶器中，最简单的是纺轮。光是这种遗物就有50个，还有两个用石头磨成的。它们中间都有从两面钻成的小圆孔，大多数两面是平面；个别的只有底面是平的。侧面的几何形状有的是圆柱，有的是圆台。与此相近的是一大批圆环。除了多数呈同心圆外，还有三个外圈带齿的特别形状，其中一个有六齿外突，一个有三十四个齿，一个有二十八个齿，齿距虽不是绝对均匀，但大体差不多，说明那时已经有了等份圆周的思想。还有一大批大小不等的陶球，都很规则，说明球的观念已完全形成。
在一些陶器上具有等份圆周的特点，如河北磁县下潘汪新石器时代遗址出土陶器的口沿不仅是规则的圆形，而且底周外缘有花牙子，牙距比较均匀，明显地反映出等份圆周思想。
在四川、湖北一带新石器时代遗址中先后发现不少空心陶球，制作精致，非常规则。由实心球到空心球在几何认识上是一个很大进步。这些空心陶球的特点是：都有镂孔，孔与孔之间用实线或虚线连接，球壁厚度均匀，外面的连线都具有规律性。比如在桂花树出土的陶球中有一个画着六条经线和一条纬线。经线基本上构成三个大圆，交于两个镂孔上，经纬线的交点上也是镂孔。还有一个以一个镂孔为中心画出“米”字型的双虚线。毛家山出土的也有一个与此相似，每个上面有六孔，三对，每对正好是一个直径的两个端点。大溪的陶球也与此类似，也是六个孔，只是外面的连线稍有差别。很显然，三个直径是互相垂直的。
这些空心球说明早在五六千年以前，我们的祖先就已经有了不少有关球和球面几何的知识。
（3）花纹中的标准图形
新石器时代遗留下来的陶器很多。这些陶器上的花纹和图案，对研究古代几何的起源非常有用（花纹和图案的做法有两种：一种是在陶器的表面上刻划；另一种是用不同的颜色描绘）。河姆渡的彩陶上有明显的平行线和不太规则的正方形。半坡出土的彩陶上提出了几何图形来源的一种途径：由某种自然物（如鱼）的形状逐渐演变成几何图案。有人作过这种演变的推测，看来是合乎实际的。即由鱼形演变成不规则的棱形或菱形、三角形等，再变成比较规则的几何形。而且可以从实物上较清楚地看到：有上下两条鱼，头朝一侧；还有的两头相对、沿着两个方向进行。
西安半坡出土的彩陶上的几何图案有平行线、折线、三角形、菱形、圆、长方形等等。三角形又可细分为任意三角形、直角三角形、等腰三角形。这些事实说明，早在六千年以前，我们的祖先已能够绘制初等平面几何中的大多数直线图形。
从稍晚期的新石器时代遗址出土的陶器花纹来看，人们的几何知识有了发展。比如在下潘汪遗址出土的陶盆上有很多几何图案，圆弧形和其他曲线形图案有了显著的增加，盆口沿上的花纹表现出准确的等份圆周图形。甘肃省景泰县张家台出土的新石器时代的彩陶罐上有很规则的平行线、三角形、圆弧等几何图案。
数的演进
人们在从事生产或其他活动中，数目多次反映到人的头脑中来，再通过长期思考，进一步抓住它的特性，从感性认识上升到理性认识，从而形成了数的概念。
（1）十进位制
数的概念形成于新石器时代末期，完成于奴隶社会初期的商代。商代是我国奴隶制经济发展时期，科学、文化都达到了较高水平：当时已能大规模地炼铜；已经发明了车子；有了历法；农业生产技术也有了很大提高。特别是甲骨文和金文的出现标志着我国的文字从简单的象形逐渐发展到成熟的阶段。所有这些技术和文化成就对于数学的发展都起了推动作用。
在甲骨文中许多数目字，其中最大的数目字已经达到“三万”。现举百以上的例子如下：
二百：“二百人王”
三百：“左右中人三百”
四百：“四百”
九百：“乎……九百人”
一千：“丁未卜……王登千人”
五千：“五千”
八千：“人八千在驭”
一万、三千：“登妇好三千、登旅万”
三万：“癸卯卜……其三万”
甲骨文的字形有些和现代文字不同，但是我们可以清楚地看出：后来汉文中的数目字是从甲骨文演变来的。甲骨文中的数目是十进位的，是以前不完善十进制的完善化和必然的发展。从1到10的每个数都有文字表示，还有“百”、“千”、“万”等也都有相当的文字符号。
在一片甲骨文上有由1到10的全部十个自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念。
在商代的记数法中还有一种六十循环的办法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地支”。天干有十个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。从干、支的头一个字甲、子开始依次各取一各，配成甲子、乙丑、丙寅……干或支完了接着再取，直到癸亥，共取六十次。以后又是甲子等出现了循环。在一片甲骨上就有一个完整的甲子表，至于零散的甲子纪年纪日的甲骨就更多了。这种干支纪年法后来一直沿用，现在农历还在使用。
商代至少应有加法、减法和乘法运算，只是没有明确的记载。实际上，甲骨文只能记录结果，而不能记载算法和运算过程。但是通过一些实例可看出其算法。在一片甲骨上，记载了如下的数字：
五十犬，五十羊，五十豚，
三十犬，三十羊，三十豚，
二十犬，二十羊，二十豚，
十五犬，十五羊，十五豚。
全是5的倍数，而前三排又都是10的倍数。
周以后有了运算记载，例如在周代的一件铜器上有“东宫乃曰：偿禾十秭，遗十秭为廿秭。（如）来弗偿则倍秭。”秭是后来的大多数名称，指万亿，这段文字是说偿还奴隶主乃庄稼（禾）十秭，同时要送给他四十秭。实际上这已包括10 10=20和20×2=40两种算法——加和乘。
战国时，李悝倡“尽地力之教”，他算了一笔账：“今一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石（1.5×100=150），除十一之税十五石（150÷10=15），余百三十五石（150-15=135）。食：人月一石半，五人终岁为粟九十石（1.5×12×5=90），余有四十五石（135-90=45），石三十〔钱〕，为钱千三百五十（45×30=1350），除社闾尝新春秋之祠用钱三百，余千五十（1350-300=1050）。衣：五人终岁用千五百，不足四百五十（1050-1500=-450）……”这里已讲到了减法、乘法和除法，特别是最后的一次计算出现了不足，用现代的观点来看就是有了负数。李悝未必懂这个意义，但是却为负数概念的出现提供了来源。
由于重复计算的需要，我国古代早已出现了乘法口诀，但是直到春秋战国时代的文献中才有了不完全的记载；而且次序与现代不同，由“九九八十一”开始，因此又称这种口诀为“九九”。
（2）分数应用
至迟在春秋战国时代我国已经有了分数的概念。在春秋战国（特别是战国）的著作中记载了许多分数及其应用的例子。当时社会上思想活跃，生产活动的范围有所扩大，技术水平也有提高，实践中提出了许多新的数学问题。比如不够一个整体的物体就不能用自然数表示其数量，而必须创造新数。在《墨子》、《管子》和《商君书》等书中所记载的分数大都是由于分配而引起的。例如《墨子》讲到食盐的分配时就有“二升少半”和“一升大半”的记载。其中“少半”和“大半”即1/3和2/3，还有“半”为1/2，都是当时分数上专门的名词。《管子》在讲土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、“十分之六”、“十分之七”等份数。在另一处也讲到了“五升少半”、三升少半“在《商君书》中有这样的记载：地方百里者，山陵处什一，薮泽处什一，溪谷流水处什一，都邑蹊道处什一，恶田处什二，良田处什四”就是说一百平方里的地面上各种地貌所占的比例，前四种都是1/10，后两种各为2/10和4/10，加起来为10/10（=1）。战国时代在制造量器“商鞅量”时也用到了分数，规定积十六尊五分尊一为升尊就是寸，这句话是说1升=1615（立方）寸。
在《考工记》中记载了由于制造各种器具和器具规格的需要而大量使用了分数，特别是有了分数运算。例如“六分其轮崇，以其一为牙围，三分其牙围漆其二”，这里说的是1牙围=1/6轮崇；一牙围的2/3要上漆。《考工记》中还记载了一种叫做殳的竹制兵器的规格，“凡为殳五分其长以其一为之被而围之，叁分其围去一以为晋围，五分其晋围以其一为首围”。意思是说1围=1/5长，1晋围=1-13=33-13=23，1首围=1/5晋围。这些事实有力地说明了我国早在公元前四、五世纪就已建立了分数概念并有了广泛的应用。
春秋战国时由于制造衡器和乐器的需要，也用到了其他一些数学知识。例如战国墓葬中出土的天平砝码的重量以1、2、4、8……递增，相当于以等比数列20、21、22、23……递增。这种数列的出现，显然是当时以十六两为一斤的规定而来的。在乐律研究中有“三分损益法”，用到分数运算。在《管子》一书中有“先主一，而四之三开，以合九九”的记载，相当于1×34=9×9=81，这已有了指数的初步观念。
实用数学
和数的概念一样，形的概念在我国奴隶社会也有新的发展。为适应各种社会活动（特别是生产实践活动）的需要而大大丰富了几何知识的内容。在夏商时代已开始兴修水利工程，传说夏禹曾领导治水，甲骨文有了“正河”的记载。“正河”就是兴修水利。当时城堡、房屋建筑的规模也很大，所有这些工程都要用到测绘和几何学知识。
（1）测绘工具的发明
土木工程和工具的制造等都需要测量，而测量又需要一定的几何知识和必要的工具。例如在河南偃师二里头发掘出来的早商时代宫殿遗址，规模宏伟，光是台基面积就约有一万平方米，墙基很直，柱孔排列整齐，分布均匀。这样的大型建筑，必须通过测量才能办到。
早在商代已经有了“规”、“矩”二字的象形文字，那么规矩的发明可能还要早得多。在汉代的许多画面上常有“伏羲手执规，女娲手执矩”的图象，规是两脚状，和现在的圆规相似，矩是一直角拐尺形。
公元前二世纪成书的《周髀算经》卷上记载：“故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这是在禹治天下时有了“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例。
商代已普遍使用车子，仅在河南安阳殷墟就几次发现车子的遗迹。制造车子需要用到几何知识。轮是圆的，而辐有毂向外射出把圆周角等份，也把圆周形的轮等份。1972年挖掘出来的车轮有22根圆柱形的辐，排列整齐。车的轮牙一般是由几块弧形构件合成，这就产生了用几段圆弧合并成圆的概念。要做到这一点，事先必须作精细的测绘和必要的计算。但是显然应当使用测绘工具，否则车轮是做不成的。
（2）几何测绘方式
西周以后的春秋战国时代由于战争和生产的需要，各地修建了不少堤防和水利工程。为了使各项工程合乎需要，必需进行测量和计算。早在两千四、五百年前，水利工程中要进行距离、高低、厚薄、土方等测量，同时还包括工程期限、劳力多少和分配、所需粮食、材料等方面的计算。很显然，在这类工程中会遇到大量的几何问题，必需运用几何知识才能解决。如计算土方实际上就是体积计算。最简单的立体是立方体，稍复杂一点的是正四棱台，都应当有计算法则。城墙的修筑，同样需要几何知识，《墨子》中有关于城墙、城门、垛口、城楼等一系列的计算问题，都与立体几何有关系。
春秋时期，在一些经济发达的地区已经有了封建生产关系的萌芽。公元前594年鲁国（今山东南部）开始实行“初税亩”制度，不论公私田地要按亩纳税。这就要求人们去研究面积的计算问题。虽然在当时的书籍上还没有找到有关面积计算的记载，但是估计当时对于正方形、长方形、三角形、梯形、圆等的面积计算法则已相继产生了。
在春秋战国之际的遗物中，有各种形状的磨制品，其中最引人注意的是1971年在山东临溜郎家庄出土的约公元前500～400年的殉人墓中水晶珠。这种水晶珠呈简单的半正多面体形状，通过观察，可知其磨制过程：先把水晶块磨成正六面体，再磨去八个角（有一定要求），便成为一种半正多面体。它的表面由六个相等的正方形和八个相等的正三角形构成，并且所有的二面角都相等。在同一殉人墓中出土的一件漆器上画有很规则的同心圆、正方形、平行线、三角形、平行四边形、菱形、长方形等各种几何图形。
战国时期已经有了很好的技术平面图，例如在一些漆器上有船只、兵器、建筑等图形，其画法符合正投影原理。在河北省出土的战国时中山国墓中的一块铜片上有一幅建筑平面图，表现很高的制图技巧和几何水平。
当时，在制造各种工具、器械、乐器过程中，常常会遇到需要把两个棒形物曲折相接，或者是将金属板、木板作成多边形，这就要用到角的概念。在《考工记》一书中有不少这方面的记载。这本书对于角和几种特殊角都有专门名称，把非直角的角叫着“倨句”，“倨”是钝角，“句”是锐角。直角叫做“倨句中矩”或简称“一矩”，例如“磬氏为磬：倨句一矩有半”。“磬”是古代的一种石制乐器，常把大小不等的几个磬按大小次序为一组吊起来敲打发声。“磬氏”是指制造石磬的工匠。“倨句一矩有半”是指石磬背部的折角的规格，其大小是一个直角（矩）再加上半个直角，相当于。90° 12×90°=135°。在同一书中还有关于车辆规格的记载，包括一些构件角度大小的规定，并且把不同角度的构件取了专门名称。
《考工记》还记有“筑氏为削：合六而成规；天子之弓，合九而成规；诸侯之弓，合七而成构；大夫之弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。”是说制造弓的规格，每张弓都成一圆弧形状，使几张弓合在一起构成圆周。但是要根据当时的社会等级的要求去制弓。一般人用的弓六张合在一起为一圆周，天子用的弓九张合在一起为一圆周，等等。这里已经包含着明确的等份圆周概念。如果把弓上弦联在一起考虑，就构成了圆内接正六边形、正九边形、正七边形、正五边形、正三角形。
在春秋战国时代的文献上常常把测量和绘图记载在一起。实际上，两者之间有密切的关系。当时测量的内容已经比较齐全，包括直线测量、水准测量、垂直测量等，分别叫做“绳墨”（或“准绳”），“水”和“悬”等。“绳墨”就是打墨线以取直，“水”是以水平面为标准测量坡度和高程，“悬”是用悬垂的线以定垂直。
由此说明，春秋战国时代，由于社会生产的发展以及兼并战争的需要，已经积累了较为丰富的几何知识。
泥版上的记数符号
巴比伦数学的知识，见于泥版的文书中。这些泥版是在胶泥尚软时刻上字然后晒干的。因而那些未被毁坏的就能完整保存下来。这些泥版的制作大抵在两段时期，有些是公元前二千年左右的，而大部分是公元前600年到公元300年间的。较早的泥版对数学史来说重要性更大些。
巴比伦文化中发展程度最高的算术是阿卡德人的算术。
巴比伦数系的突出之点是以60为基底并采用进位记号。
起初巴比伦人没有用什么记号来表示某一位上没有数，因此他们写的数是意义不定。他们往往空出一些地方来表明那一位上没有数，但这当然还会引起误解的。在塞流卡斯时期他们引入了一种特别的分开记号来表示那一位上没有数。但即使在这段时期也还未采用一个记号来表明最右端的一位上没有数，如同我们今日所记的20那样。在这两段时期，人们都得依靠文件的内容，才能定出整个数的确切数值。
巴比伦人也用进位记法来表示分数。他们数学系统的混淆不清比上面所指出的还要历害。
少数几个分数有其特定记号。这些特殊分数1/2、1/3和2/3，对巴比伦人来说，在量的度量意义上是作为“整体”看待的，而不是一的几分之几，虽则它们是从量的度量（同另一量相比有这相应关系）所得出的结果。例如把一角钱与元对比时我们可以把1角钱写成1/10，但又把这1/10本身看成是一个单位。
实际上巴比伦人并不到处都用60进制。他们以60，24，12，10，6，2混合进位制写出的数，表示日期、面积、重量、钱币，正如我们今日的钟点数用12进位，分、秒数用60进位，英寸数用，12进位而普通计数则用10进位一样。巴比伦人的数制也象今日所用的一样，是由许多历史条件和地区习惯形成的混合数制。不过在数学和天文上，他们则是一贯用60进制的。
关于进位计数法的来源有两种可能的解释。在较早的记数法中，他们用较大的代表1乘60而以较小的这种记号代表1.在写法简化以后的外形减小了但仍放在代表60的那个位置上，因而所在的位置就变成代表60的倍数记号。另一种可能的解释来自币制。正如我们所写1.20中的1代表100分那样。于是记钱数的写法就采用到一般算术上来。
巴比伦算术
在巴比伦记数制中，代表1和10的记号是基本记号。从1到59这些数都是用几个或者更多一些基本记号结合而成的。因此这种数的加减法就不过是加上或去掉这种记号就是了。巴比伦人把数字合在一起用来表示相加。
巴比伦人也做整数除以整数的运算。由于除以一个整数a就是乘以倒数1/a，这就涉到分数的运算。巴比伦人把倒数化成六十进制的“小数”，而除了上面指出的几个分数以外，不用分数的特殊记号。他们有数字表，可以查出1/a形式的数（其中a=2α3β5γ）怎样写成有限位的六十进制“小数”。有些数表给出1/7，1/11，1/13等的近似值，因为这些分数所化成的六十进制小数是无限循环的。在一些老问题里所出现的分数中，如果分母里含有2，3或5之外的因子，分子里也有这种因子，那就彼此约掉。
巴比伦人完全靠倒数表来作计算。他们也有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值。对于其他的方根，相应的六十进制数值只是近似的。无理数当然是不能用有限位的十进制或六十进制小数来表示的。不过，没有事实可以证明巴比伦人懂得这一点。他们很可能相信，只要用足够多的位数，就可用六十进制小数准确表达无理数。巴比伦人给出的2近似值是1.414213……。而不是1.14214……。
代数技巧
从载有数字表的文件中，可以获得巴比伦人的数系和数字运算方面许多知识。还有一些文件与此不同，它们是处理代数与几何问题的。早期巴比伦代数的一个基本问题，是求出一个数，使它与它的倒数之和等于已给数。这就是说巴比伦人实际上知道二次方程根的公式。有些别的问题，如给定两数之和与两数之积而求出这两数，也可化为上述问题。由于巴比伦人不用负数，故二次方程的负根是略而不提的。虽然他们只给出具体例题，但好些问题是打算说明二次方程的一般解法的，他们用变量置换把更为复杂的代数问题化成较简的问题。
巴比伦人能解出含五个未知量的五个方程这类个别的问题。在校正天文观测数据而引起的一个问题中，包括含十个未知量的十个（大多数是线性的）方程。他们用一种特殊的方法结合各个方程，最后算出了所有未知量。
他们的代数方程是用语文叙述并用语文来解出的。他们常用长，宽和面积这些字来代表未知量，并不一定的因为所求未知量确实是这些几何量，而可能是由于许多代数问题来自几何方面，因而用几何术语成了标准做法。
巴比伦人有时也用记号表示未知量，但这种记法只是偶尔用之。在有些问题里，他们用两个苏默文字表示两个互为倒数的未知量。又因这两个文字在古苏默文里是用象形记号的，而这两个象形记号当时已不流行，所以结果就等于用两个特殊记号来表未知量。他们反复运用这些记号，因而虽不懂这两个记号在阿卡德文里的读法，我们也可以认出它们来。
几何概念
几何在巴比伦人的心目中是不重要的。几何并不是他们一门独立的学科。关于划分土地或计算某项工程所需砖数之类的问题很易于化为代数问题。面积和体积的一些算法是按固定法则或公式给出的。不过，那些说明几何问题的图画得很粗，所用的公式也可能不正确。例如在巴比伦人计算面积的问题里，我们分不清其中的三角形是否为直角三角形，也不知其四边形是否为正方形，因而不知其对有关图形所用的公式是否正确。不过，毕达哥拉斯定理中的关系，三角形的相似以及相似三角形对应边成比例的关系他们是知道的，他们似用A=c212（其中c表圆周长）这个法则得出圆面积。在这个法则里，他们等于用3代替了π。不过，在他们给出正六边形及其外接圆周长之比时，其中的结果说明他们用318作为π值。在计算一些特定物理问题时，他们算出了一些体积，有些算对了，有些算的不对。
除了计算一个给定的等腰三角形的外接圆半径之类这一些特殊的实际知识外，巴比伦人的几何内容只是收集了一些计算简单平面图形面积和简单立体体积的法则，而平面图形中则包括正多边形。他们并不专为几何而研究几何，总是在解决实际问题时才去搞几何。
阿拉伯数码的故乡
阿拉伯数码是现在国际通用的数码，不论你走到哪个国家，随便翻开一本数学书，你也印度阿拉伯会在完全陌生的文字中，看到一连串你非常熟悉的数字符号“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”。
早期的阿拉伯数字很多人都以为阿拉伯数码是阿拉伯人发明的，其实这是个历史的误会，阿拉伯数码主要是古代印度人民的天才创造。
古代印度创造过灿烂的文化，对人类文明史有很大的贡献。印度数学广为人知的成就是创造了现代的10进位制记数法，这种记数法所用的数码就是现在被称为“阿拉伯数码”的通用数码。
古印度数码由于每笔均可以一笔连书，便于书写，因此，当公元6世纪印度确立了使用这种数码的10进位制记数法后，很快便传入了阿拉伯地区。印度数码传入阿拉伯后，并未及时被阿拉伯数学家所注意，在较长一段时间里，他们用阿拉伯字母代替希腊字母，采用希腊记数法记数，到了12世纪前后，印度记数法才被阿拉伯普遍使用，并发生了形体变化。
与此同时，印度记数法通过阿拉伯人而传入西班牙、意大利、法国和英国。欧洲人以为它是阿拉伯人发明的，于是就称它为阿拉伯数码。
古希腊辉煌的数学成就
提到古代数学，就要提到古希腊。《几何原本》就诞生在古希腊。这部雄视数学界两千多年的巨作让古希腊当之无愧地成了“几何学之母”。除此之外，它还使得算术从几何学中分离出来成为独立的数学学科，同时解决了大量的代数方程问题，高等数学也开始萌芽了。
为什么古希腊会取得如此辉煌的数学成就呢？
首先，哲学的发展使人们渐渐不满足于了解事物是“怎么样”的，而更希望知道“为什么”。一些人开始提出这样的问题：“为什么等腰三角形两底角相等？”“为什么圆的直径将圆二等份？”虽然通过简单的折纸实验就能证实这些论断，但是人们渴望得到更进一步的逻辑论证。这样一来，古希腊数学在逻辑体系上就有了全新的发展，从而推动了几何学的巨大进展。
第二，任何学科的发展都离不开交流。古希腊的数学也是吸收了他人所长，从而得到进步和创新的。被公认为希腊几何学鼻祖的泰勒斯就曾在埃及居住和学习。他回到故乡后建立学校，传授带回来的数学和其他学科的知识。他和他的一些学生很快赶超了埃及的水平，在古希腊的数学发展中起到了极大的推动作用。
第三，社会生产和实际向来都是科学发展的主要动力。在当时的古希腊已经有了比较雄厚的国力和比较先进的科学技术，航海与商业的发展也不断向数学提出新的研究课题，而数学又在不断应用中得到了新的发展。
古希腊数学成就的取得和人的因素是分不开的。许多数学问题的解决往往都凝聚着几代人的心血，最终的突破性进展通常由一个或几个人完成。在古希腊的科学文化中心——亚历山大博学院，集中着一大批优秀人才，为数学突破提供了必要的条件。毕达哥拉斯、希波克拉底、海伦、丢番图等在史书上被永远铭记的数学家都是古希腊数学成就的缔造者。
在现今的中国，科技的发展对数学提出了崭新的要求，对外开放和综合国力的增强为学习和发展提供了良好的机遇，能否创造中国数学的辉煌，就在于我们每个人的探索与追求。
、-、×、÷、=这些符号的来历
、-、×、÷和=这五个符号，大家对它们都是再熟悉不过的了，但是你知道它们的来历吗？
远古时期，古希腊人和印度人都是把两个数字写在一起表示加法，如3 14就写成314，今天，从带分数的写法中还可以看到这种方法的痕迹。他们还把两个数字写得分开一些来表示减法，如615就是6-15的意思。
中世纪后期，欧洲商业逐渐发达。一些商人常在装货的箱子上画一个，表示重量超过一些；画一个，表示重量略微不足。文艺复兴时期，意大利的艺术大师达·芬奇在他的一些作品中也采用过和的记号。公元1489年，德国人威德曼在他的著作中正式用这两个符号来表示加减运算。后来经过法国数学家韦达的大力宣传和提倡，这两个符号才开始普及，到1603年终于获得大家的公认。
我国古代普遍使用筹算和珠算来进行加、减、乘、除，因而没有创立专门的运算符号。以“李善兰恒等式”闻名于世的数学家李善兰，曾经用“⊥”表示，用“┬”表示。后来人们逐渐采用了阿拉伯数字，同时也采用了和的记号。但在清代末年出版的数学书上，算式还是用直写格式。辛亥革命后，才逐渐改成现在的记法。
至于×、÷符号的使用，不过300多年。据说，英国人威廉·奥特来德1631年首先在他的著作中用表示乘法，后人沿用至今。
中世纪时，阿拉伯数学相当发达，大数学家阿尔·花拉子米曾用“3/4”或“34”来表示3被4除。许多人认为，现在通用的分数记号，即来源于此。直到1630年，在英国人约翰·比尔的著作中才出现了号，据推测他是根据阿拉伯人的除号与比的记号合并转化而成的。
现在绝大多数国家的出版物中，都用 、-来表示加与减。×、÷却没有普遍使用，一些国家的课本中用代替，而在俄国和德国的出版物中一般用来代替。
那么=这个符号又是怎么产生的呢？巴比伦和埃及曾用过各种记号来表示相等，而最早使用近代的=符号却是在中世纪时，在雷科德的名著《智慧的磨刀石》中。他说之所以选择两条等长的平行线作为等号，是因为它们再相等不过了。但是=号直到18世纪才普及。
π的由来
圆周率是什么？
圆周率就是一个圆的“圆周”长度和它的“直径”长度相比的倍数。不论圆的大小如何，这个倍数都是一样的，因而是个“常数”，在数学上名为“π”。它是希腊文“周围”的第一个字母。
在日常生活和生产活动中，圆周率π这个数值用途非常广泛，同时也是一个很奇特的数值。
圆周率π的数值，该是多少呢？
为了求这个数值，自古以来不知有多少数学家绞尽脑汁，算出了一个比一个更精确的值。一般是利用圆的内接或外切正多边形的周长，近似地代替圆的周长。起初人们以为可以算到底，求出π的全值。但是，算来算去，越算越没个完，始终到不了底。直到18世纪中叶，才有个德国数学家朗伯，用数学证明π是个无理数（无限不循环的小数），按一定的法则，可以无休止地算下去，而不像分数，如13，虽然也“无尽”，但却简单。让我们回顾一下，国内外数学家对圆周率π值的贡献吧。
古时候，我国就有“周三径一”之说（即π=3）。早在公元前100多年（西汉时）的一部《周髀算经》里，就有了这个记载。后来，慢慢知道圆周率应当比3略大一点。到了东汉时，我国天文学家、数学家张衡（公元78～139年），应用了一个很妙的数值，说圆周率等于10的平方根（即π=10=3.16），这个数值很简便，容易记。魏晋时，我国数学家刘徽，在公元263年注《九章算术》时指出，“周三径一”只是内接正六边形周径的比率，由此只能计算出内接正十二边形的面积。为了精密地计算出圆的面积，他创造了割圆术。他用割圆术计算出圆内接正192边形的面积，得圆周率值：π=15750=3.14；后来，又计算出圆内接正3072边形的面积，得到更精确的圆周率值：π=3927[]1250=3.1416.他这种用圆的内接正多边形的面积，来逼近圆面积的极限观念，在数学上是个很大的创造。
最辉煌的成就，要算南北朝时代的科学家祖冲之（公元429～500年）推算的圆周率值。他精密地推算出π值在3.1415926和3.1415927之间，无一字错误，是世界上最早的七位小数精确值。祖冲之的这一成果记载在《缀术》一书中。后来，他又提出两个分数值，一个叫“约率”，π=227=3.14；另一个叫“密率”，π=355[]113=3.1415929.约率和希腊学者阿基米德的圆周率值相同，但密率在欧洲直到16世纪，才由法国数学家奥托和荷兰数学家安托尼兹得到，比我国晚了1000多年。现在月球背面的一个山谷，就被命名为“祖冲之”，可见国际上对他的景仰。
15世纪后，欧洲科学技术蓬勃兴起，所谓方圆学者（求同一面积的一方一圆），日见增多，于是圆周率值也越算越精确，大家都以算出的π的小数位数越多越可贵。最突出的要算德国数学家卢多夫，他通过计算正262边形的周长，竟将π值的小数算到35位，而且经过其他学者核对，无一字之差。他感到不虚此生，并遗嘱将这35位数值刻在他的墓碑上。因此，有的德国人至今还把圆周率值，称为“卢氏值”。
17世纪中叶以后，由于微积分理论的建立和完善，π的计算方法有了本质的变化，从计算正多边形的周长转为计算某些收敛级数的部分和。这类计算法大都基于反正切函数的级数展开式：
arctanx=x-x33 x55-x77 …… （-1）nx2n 12n 1 ……（｜x｜≤1）。
注意到arctan1=π4，在上式中令x=1，就得到莱布尼兹公布：
π4=1-13 15-17 …… （-1）n2n 1 ……。
这是用无限级数表示π的最简洁的公式，然而它却难以用于计算：它的各项的绝对值减小的速度太慢，以至于用很多项还只能求出粗糙的近似值。于是，人们不断探索更便于近似计算的无限级数来求π的值，思路大都是用较小数值的反正切来表示π。例如，下面这些公式都能导出有效的计算公式：
π=20arctan17 8arctan379（欧拉—维加）
=16arctan15-4arctan1239（马廷）
=16arctan15-4arctan170 4arctan199（卢瑟福）。
有了微积分理论的这些成果，π的计算就进入一个新的境界，小数位数增加很快；1706年就达到100位（马廷），1794年到了140位（维加），1824年到了152位（卢瑟福），1844年到了205位（达泽），1853年到了440位（卢瑟福），1855年到了500位（利希特尔）。在19世纪圆周率计算割圆术中国古代魏晋时期的数学家刘徽发明的割圆术是从圆内接六边形算起，令边数一倍一倍地增加，当算到圆内接正192边形时，得到的π约为3.14，它反映了无限逼近的数学分析思想。的竞赛中，冠军应该属于英国数学家山克司，他用了15年功夫，于1874年把π的值算到了707位。很遗憾的是，他算出的数值中第528位以后不正确。到了1947年，π的值已经被计算到了808位（福克森）。这是电子计算机问世前的最高纪录了。
电子计算机问世以后，用电子计算机来计算圆周率，使π的小数位数以惊人的速度增长。早在1949年，就有人在一天一夜里算出2048位（其中2037位正确）；到了1967年，π的值被算到了50万位，1988年到了2亿多位，1989年到了10亿多位……
圆周率被计算到如此精确的地步，是我们的先人所想象不到的，也超出了任何实际应用的需要。这类计算，与其说是探索π的奥秘，不如说是对计算机性能的考验。
