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第41章 有形状的数

毕达哥拉斯不仅知道奇数、偶数、质数、合数,还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。他分类的方法很奇特,其中,最有趣的是“形数”。

什么是形数呢?毕达哥拉斯研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生一系列的形数。

毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、3、6、10等数时,小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫做三角形数;当小石子的数目是1、4、9、16等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫做正方形数;当小石子的数目是1、5、12、22等数时,小石子都能摆成正五边形,他把这些数叫做五边形数……

这样一来,抽象的自然数就有了生动的形象,寻找它们之间的规律也就容易多了。不难看出,头四个三角形数都是一些连续自然数的和。瞧,3是第二个三角形数,它等于1 2;6是第三个三角形数,它等于1 2 3;10是第四个三角形数,它等于1 2 3 4.

看到这里,人们很自然地就会生发出一个猜想:第五个三角形数应该等于1 2 3 4 5,第六个三角形数应该等于1 2 3 4 5 6,第七个三角形数应该等于……

这个猜想对不对呢?

由于自然数有了“形状”,验证这个猜想费不了什么事。只要拿15个或者21个小石子出来摆一下,很快就会发现:它们都能摆成正三角形,都是三角形数,而且正好就是第五个和第六个三角形数。

就这样,毕达哥拉斯借助生动的几何直观,很快就发现了自然数的一个规律:连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数,那么1 2 … n的和也是一个三角形数,而且正好就是第n个三角形数。

毕达哥拉斯还发现,第n个正方形数等于n2,第n个五边形数等于n(3n-1)/2,第n个六边形数等于2n(n-1)……根据这些规律,人们就可以写出很多很多的形数。

不过,毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数,需要一个数一个数地相加,才能算出一个新的三角形数,毕达哥拉斯认为这太麻烦了,于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律,他又发现,

1 2 …… n=12×n×(n 1)

这是一个重要的数学公式,有了它,计算连续自然数的和可就方便多了。例如,要计算一堆电线杆数目,用不着一一去数,只要知道它有多少层就行了。如果它有7层,只要用7代替公式中的n,就能算出这堆电线杆的数目。

1 2 3十4 5 6 7

=12×7×(7 1)=28(根)

就这样,毕达哥拉斯借助生动的几何直观,发现了许多有趣的数学定理。而且,这些定理都能以纯几何的方法来证明。

例如,在一些正方形数里,左上角第一个框内的数是1,它是1的平方;第二框内由1 3组成,共有4个小石子,它是2的平方;第三个框内由1 3 5组成,共有9个小石子,它是3的平方。……由此不难看出,只要在正方形数上作些记号,就能令人信服地说明一个数学定理:“从1开始,任何个相继的奇数之和是完全平方。”即

1 3 5 …… (2n-1)=n2

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