许多投资者对自己缺少自信，原因是他们认为自己不是专业人士，既不是经济学科出身，也不懂数学，对于以数学作为基础的现代经济理论及财务知识都十分陌生。
正是这种不自信，使他们放弃了独立分析的可能，而轻易地听信所谓投资专家的建议，从而变得盲从而缺乏理智。
巴菲特认为，投资领域所需要的数学并不高深，你不必非得学习微积分才能成为一个出色的投资者。他说：“如果微积分对投资而言是必须的话，那我就得回去送报纸了。我从未发现投资中需要如此复杂的数学知识。我们所要弄清的不过是企业的价值，就像你打算买一个农场、一栋公寓，你没有必要在进行交易时非要进行微积分的计算。
在投资中，你所要确定的是一家企业未来的赢利能力，然后是你购买它所需要支付的价格以及这个价格是否合理的评估。
虽然巴菲特不认为数学在投资中占有很高的地位，但他认为数学是必须的，只不过投资所需要的数学知识并不高深。你不需要学习复杂的数学公式，但你要习惯于数学及概率的思考方式。巴菲特的成功与数学能力是分不开的，多年来，他已经习惯于从数学的概率及排列组合的角度来思考问题，而不像大多数投资者以一种先入为主的心态来考虑问题。这种思考方式需要的数学知识一点都不复杂，但如果要改变长期以来形成的思维定式却绝非一件容易的事。
查理· 芒格对投资所需要的数学知识曾做过非常中肯的评论。他说：“对于投资所需要的初级数学，你必须学以致用，而且日积月累地应用于生活中的各方面，否则你就会像一个瘸腿的人参加赛跑，你将一生都处在不利的地位。而如果你拥有这种数学能力，你将拥有比别人更大的优势。
对巴菲特而言，数学是一种思考方式，而那种充斥在各种学术期刊里的数量分析与公式则并非必要。他建议投资者去阅读格雷厄姆和费舍尔的著作及你感兴趣的企业的投资报告，但不要理会上面的各种使用希腊字母的方程式。
巴菲特运用最多的数学是概率。他认为，虽然投资不能以确定的公式来决定输赢，但概率的思考方式绝对是有用的。事实上，投资虽然有许多不能确定的因素，但它可能出现的情况却是可以预期的。如果你所预期的事件只有几种可能性时，概率在这里就变成了简单的加减乘除法。就像我们在掷骰子时，知道每一面出现的概率都是相同的，即每一面出现的可能性都是六分之一。如今，概率的方法已经被广泛应用，如应用在天气预报及各种统计报告中。它与科学和经验息息相关，它要求人们在各种可能出现的情况中找到对自己最有利的时机。
纵观巴菲特的投资生涯，他一直在运用概率的方法进行思考与行动。当机会来临，成功的概率很高时，他往往会下大赌注，而在其余的时间里他宁愿按兵不动。事情就是这么简单，可是大多数人却难以做到这一点，明知成功的可能性很小，还是怀着侥幸的心理去赌。相反的是，他们却在成功的概率明明很大的时候，变得胆小而脆弱，并且轻易放弃，让机会从眼前白白地溜走。
你可能从来没有学过高等数学，对财务知识也是一知半解，不过你千万不要因此而失去独立作出投资决策的信心。就像巴菲特所说的，他一直所用的数学方法就是：
“用亏损概率乘以可能亏损的数量，再用收益概率乘以可能收益的数量，然后用后者减去前者。这就是我们一直试图做的方法。这个算法并不完美，但事情就是这样简单。
也许有人会说，巴菲特只是投资界的特例，他是如此的不寻常，他的成功是如此罕见，身为一个普通的投资者，我们学习并运用他的投资法则到底有多少现实的可能呢？是的，与他相比，我们手里的资产微不足道，我们的经验也非常欠缺，不过，这些问题都不应当成为你拒绝学习的理由。
集中投资、长期持有、理性分析，这可以说是巴菲特投资理念中最鲜明的特色。
而他的这些理念，也是中小投资者最容易学习与运用的。
让我们记住巴菲特的忠告：“人们总是顽固地拒绝学习，而且在明知学习将对他们大有好处时还是如此。我们对于思考与改变总是存在巨大的抵抗力，多数人宁愿死也不愿动脑子，后来他们真的就死了。这句话千真万确。
被数字包围的巴菲特在巴菲特还是一个孩童的时候就已经对数字颇为着迷。我们已经知道他年纪轻轻就已进行普通股投资。但巴菲特与数字的关系之深之广，且大大超出资产负债表和损益表的范围却是鲜为人知的。
今天巴菲特被数字包围了，而且包围他的不仅仅是股市数字。伯克希尔的保险业务是所有业务中最具数学挑战的业务，也是统计学和概率论中必讲的一课，当巴菲特没有在想他的保险业务也没有在想他的证券业务时，他却在思考他的最大业余爱好——桥牌。巴菲特自大学时代起就热衷于打桥牌，现在仍每周打几个小时。如果他不能与人面对面地打牌，他就会在网上与全国各地的桥牌爱好者切磋牌艺。
巴菲特认为，桥牌游戏与股市投资有许多共同点。他解释说：“它们都是有百万种推论的游戏。你有许多赖以推论的依据——已打出的和未打出的牌。所有这些推论都会告诉你概率发生的可能性。它是对智力最好的锻炼。每隔10 分钟，局势都会发生变化。桥牌是关于盈亏权重的比率问题。”巴菲特说：“你每时每刻都在进行计算。
每一个与巴菲特打过交道的人都会告诉你巴菲特具有超凡的快速计算能力。伯克希尔－哈撒韦公司长时期的股民、纽约证券商克里斯· 斯塔夫罗回忆起他第一次与巴菲特约见的情景。
我问他是否曾使用过计算器。巴菲特回答说：“我从未有过计算器，也不知怎样使用它。
斯塔夫罗紧追不舍地问：“那么你如何进行繁杂的计算呢？难道你有天赋吗？”巴菲特说：“没有，没有，我只是与数字打交道的时间太长了，我有些数字感觉而已。
“你能否为我示范一下？比如99×99 得多少？”巴菲特立刻回答：“9801.”斯坦夫罗问巴菲特他是如何知道的。巴菲特回答说他阅读了费曼的自传。
理查德· 费曼是诺贝尔物理学奖项得主，也是美国原子弹研究项目的成员。在他的题名为《别闹了，费曼先生》这部自传体书中，他介绍了如何在脑中计算复杂数学的方法。由此我们得出结论：巴菲特要么记住了他阅读的所有资料，要么他能在脑中做神速计算。
斯塔夫罗又追问了另一个问题：“如果一幅油画的价格在100 年内从250 美元涨到5000 万美元，年收益率是多少？”几乎又是在同一时间，巴菲特回答道：“13％。”斯塔夫罗惊讶地问道：“你又是怎么做的呢？”巴菲特回答说任何复利表都会显示出答案（由此我们是否可以推理他是一个活利率表？可能是吧）。巴菲特说还有另一个计算这个问题的方法，就是通过它加倍的次数来计算（250 美元加倍17.6 次就得出5000 万美元，每隔5.7 年就加倍一次，或者说每年增长13％）。
尽管巴菲特很谦虚，但他显然是有数学天赋的。基于这个原因，很多怀疑家声称巴菲特的投资战略之所以有效是因为他有这个能力，而对那些没有这种数学能力的人，这个战略就无效。巴菲特和查理· 芒格说这是不对的。实施巴菲特的投资战略并不需要投资者学习高深的数学。在一次由《杰出投资家文摘》报道的、在南加州大学所做的演讲中，芒格解释道：“这是简单的代数问题，学起来并不难。难的是在你的日常生活中几乎每天都应用它。
具有巴菲特风格的概率论如果我们说证券市场是一个无定律的世界，那么此话就过于简单了。在股票的世界里，有几百种甚至上千种力量在联合左右着价格，所有这些价格都在不停地运动，每只股票都可能产生巨大的影响力，但又没有一只股票可以被肯定地预测。投资者的职责就是缩小范围，找出并排除那些最不了解的股票，将注意力集中在最知情的股票上。这就是对概率论的应用。
当我们对某一局面不太肯定但仍想表达看法时，我们经常在我们的言语里用上：
“可能是”，或者“可能”或者“不太可能”。当我们再往前走一步并试图用数字来表达综合观点时，我们就在与概率论打交道了。概率论是不确定性的数学语言。
一只猫生一只鸟的概率有多大？零。明天太阳升起的概率有多大？由于这个事件是百分之百会发生的，概率为1.任何事件其发生率既非肯定又非不可能时的概率为1
到0 之间。决定0
1 的这个小数就是概率论所探讨的问题的全部。
“用亏损概率乘以可能亏损的数量，再用收益概率乘以可能收益的数量，最后用后者减去前者。这就是我们一直试图做的方法。”巴菲特说，“这个算法并不完美，但事情就这么简单。
澄清投资与概率论之间的联系的一个有用例证是风险套购的做法。巴菲特对风险套购的看法与斯坦福商学院的学生的看法是一致的。巴菲特解释道：“我已经做了40 年风险套购，格雷厄姆在我之前也做了30 年。
所谓风险套购，从纯粹意义上讲，不过是从两地不同市场所报的证券差价中套利的做法。例如，不同种商品和货币在全世界不同的市场上报价，如果两地市场对同种商品报价不同，你可以在这个市场上买入，在另一个市场上卖出并将差价归己所有。
风险套购已成为目前金融领域普遍采用的做法，它也包括对已宣布购并的企业进行套购（有些投机家对未宣布的企业购并也采用套购的做法），但这里巴菲特说：“我的职责是分析这些（已宣布并购）事件实际发生的概率，并计算益损比率。
让我们先来看看下面这个例子，然后再继续聆听巴菲特的教诲。假设阿伯特公司今天的开盘价为每股18 美元。在上午过半的时候，它宣布今年的某个时候——可能在6 个月内，它将以每股30 美元的价格卖给科斯特洛公司。阿伯特公司的股价马上抬至每股27 美元，并在这个价位上走稳徘徊。
巴菲特看到了宣布合并的消息并且必须作出决断。首先他试图分析消息的确定性。
有些企业合并的买卖并未能最终实现。董事会可能会出人预料地拒绝合并，或者美国联邦贸易委员会也发出反对的声音。没有人能够十分有把握地说这笔风险套购交易将最终实现。这就是风险所在。
巴菲特的决策过程就是运用主观概率的方法。他说：“如果我认为这个事件有90％
的可能性发生，它的上扬幅度就是3 美元，同时它就有10％的可能性不发生，它下挫的幅度是9 美元。用预期收益的2.7 美元减去预期亏损的0.9 美元就得出1.8 美元（3×90％－9×10％
= 18）的数学预期收益。
下一步，巴菲特请你必须考虑时间跨度，并将这笔投资的收益与其他可行的投资回报相比较。如果你以每股27 美元的价格购买阿伯特公司，按照巴菲特的计算，潜在收益率为6.6％（1.8 美元除以27 美元）。如果交易有望在6 个月内实现，那么投资的年收益率就是13.2 ％。巴菲特将以这个风险套购收益率与其他风险投资收益进行比较。
风险套购交易是具有亏损风险的。“我们愿意在某些交易中亏本——比如风险套汇——但是当一系列类型相似但彼此独立的事件有亏本预期概率时，我们是不情愿进入这类交易的。”巴菲特坦言道，“我们希望进入那些概率计算准确性高的交易。
我们可以清楚地看出巴菲特对风险套购预测采用的主观概率法。在风险套购中每笔交易都是不同的，每次情况都要求不同的预测判断。即便如此，使用一些数学运算对风险套购交易的运作还是大有益处的。
对风险套购的决策过程与普通股票投资的决策过程并无异处。为了说明普通股的决策过程，让我们来看看伯克希尔－哈撒韦公司对两只经典普通股票的购入——韦尔斯· 法戈和可口可乐。
投资韦尔斯·法戈和可口可乐的启示1990 年10 月，伯克希尔－哈撒韦公司购买了500 万股韦尔斯· 法戈公司的股票，共投资2.87 亿美元，每股的平均价格为57.88 美元。这笔交易使伯克希尔成为这家银行的最大股东，拥有已发行股票的10 ％。
公司的这一举动是颇具争议的。在年初的时候，股价曾攀升至86 美元，而后随着投资者的大批抛盘，这家加利福尼亚银行的股票急骤下跌。适时西海岸正处于严峻的经济衰退的痛苦之中，有些人预测由于银行的贷款资金都被住宅抵押所充斥，故一定困难重重。韦尔斯· 法戈是加利福尼亚地区银行中拥有最多商业不动产的银行，它被认为最不堪一击。
巴菲特对上述情况了如指掌，但是他对韦尔斯· 法戈得出了不同的结论。他是否比其他投资专业人士掌握更多的情况？非也，他只是对局势的分析有所不同。让我们与他共同回顾他的思维过程以便使我们对巴菲特如何应用概率论有一个清楚的例证。
首先，巴菲特对银行业的业务非常了解。伯克希尔曾在1969
1979 年拥有伊利诺伊国家银行和信托公司。在那段时期里，伊利诺伊国家银行的总裁吉尼· 阿贝格教会了巴菲特一个道理：一家妥善经营的银行不仅可以使它的收益有所增长，而且还可以得到可观的资产回报。更重要的一点是，巴菲特了解到一家银行的长期价值取决于它管理层的行动。糟糕的管理者不但会使银行的运营成本增加，而且还会贷错款。而优秀的管理者总是在寻求降低成本的方式，而且他们很少做有风险的贷款。
韦尔斯· 法戈银行当时的总裁是卡尔· 理查特。他从1983 年开始经营这家银行，成绩显著。在他的领导下，银行的收益增长率以及资产回报率均高于平均值，而且他们的运营效率是全国最高的。理查特还建立起坚实的放款业务。
巴菲特说：“拥有一家银行绝非是无风险的。”但是在他的脑中，拥有韦尔斯· 法戈的风险主要围绕以下三方面的可能性。
加利福尼亚的银行面临大地震的具体风险。这一风险可能完全摧毁借款者进而摧毁贷款给他们的银行。
第二种风险是全局性的——发生企业萎缩或者金融恐慌的可能性，这种恐慌是如此之强烈以至于殃及所有高度借贷的机构，不论这家机构的经营如何也不能幸免。
目前市场的主要恐惧在于，由于建设过度，西海岸的不动产价值会下跌，并将这个损失转嫁给融资给他们的银行。巴菲特说，目前上述场景哪一种都不可能被排除在外。然而他得出结论说，基于最好的证据，发生地震和金融恐慌的概率都极低（巴菲特没有给出具体数据，但低概率可能是低于10％的概率）。然后他将注意力转向第三种场景的概率。他分析认为，不动产价值的下跌不应对妥善经营的韦尔斯· 法戈银行产生太大的问题。巴菲特解释说：“考虑一下具体数字吧。韦尔斯· 法戈目前税前的年收益在扣除贷款损失的3 亿美元之后，仍超过10 亿美元。如果银行全部480 亿贷款的10％——不只是不动产贷款——遭受像1991 年那样的重创，而且产生损失（包括前期利息损失），平均损失量为本金的30％，公司仍能保本不亏。
然而要知道，银行放贷业务的10％遭受损失就等于企业遭受了严重的经济萎缩，这种情况已被巴菲特排在“低”概率一档之中了。但是，即使这种事情真的发生了，银行仍能保本。巴菲特继续说：“如此糟糕的一个结局——我们认为发生的概率很低，似乎不可能——也不会使我们沮丧。
在巴菲特脑中罗列出的这几种场景，哪一种对韦尔斯· 法戈产生长久重大损失的概率都很低。尽管如此，市场仍将韦尔斯的股价打压了50％。在巴菲特的头脑中，购买韦尔斯· 法戈的股票赚钱的机会是2
1，相对犯错误的可能性只会减少不会增加。
尽管巴菲特对其概率判断没有给出具体数字，但这并不能减弱他思考过程的价值。用概率来思考，不管是主观概率还是客观概率，都使你对所要购入的股票进行清醒和理智的思索。
巴菲特对韦尔斯· 法戈的理性思考使得他能够采取行动并从中获利，而其他人的思维则欠清晰。巴菲特说：“请记住，如果你用概率权重来衡量你的收益，而用比较权重来衡量你的亏损，并由此相信你的收益大大超过你的亏损，那么你可能刻意地进行了一桩风险投资。
可口可乐股票的购入则是另一回事。如果韦尔斯· 法戈的购入让我们看到巴菲特是如何亮出各种场景并对他们逐一进行概率判断的，可口可乐交易则让我们看到，当他认为概率是百分之百肯定时，他是如何做的。在可口可乐实例中，我们看到巴菲特是如何实施他的指导原则之一的：当成功的概率非常高时，押大赌注。
巴菲特在购入可口可乐股票时，并未使用贝叶斯分析法。相反，他经常说可口可乐代表着几乎肯定的成功概率。因为可口可乐有着100 多年的投资业绩数据可查，这些数据构成了一幅频数分布图。运用贝叶斯分析程序加上后序信息，巴菲特了解到以罗伯托· 格佐艾塔为首的管理层所做的事情与前面有所不同。格佐艾塔正在卖掉营业业绩欠佳的企业，并将收入所得重新投向业绩良好的糖浆企业。巴菲特知道可口可乐的财政收益将会好转。不仅如此，格佐艾塔还在买回可口可乐的股票，从而进一步增加了企业的经济价值。
自1988 年起巴菲特就注意到，市场上对可口可乐的定价比其实际的内在价值低了50％
70 ％。与此同时，他对公司的信念从未改变过：他坚信可口可乐股击败市场收益率的概率正在不断地上升、上升、再上升。那么巴菲特是怎么做的呢？1988
1998
年伯克希尔－哈撒韦公司总共购买了可口可乐公司10 亿美元的股票，占据了伯克希尔证券投资总值的30 ％以上。到1998 年底这笔投资价值130 亿美元。
概率论与股票市场现在让我们远离理论，把概率论融入到股票市场的现实当中去，我们该了解些什么呢？
（1）计算概率。作为一个集中投资者，你将自己限制在少数几种股票上，因为你知道从长期角度看，这是你比市场做得更好的最佳机会。所以每当你想买一种新股时，你的目标是确保你的选择将在业绩上超出市场。这就是你要考虑的概率问题：此种股票有多大概率将来在经济回报上超出市场水平？如果信息可得，则使用频数分布；如果信息不可得，则使用主观概率分析法。你要看看你所考虑购买的公司在多大程度上符合巴菲特的基本原则。你要尽可能全面地收集公司的资料，用这些基本原则衡量公司的价值。将分析转换成数字，这个数字代表着这家公司成为赢家的可能性。
（2）根据新信息对数字进行调整。你要耐心等待直到投注比率转为对你有利时方可行动。与此同时，密切注视公司的一举一动。公司的管理层是否开始对此有所反应？公司的财务决策是否开始改变？有没有改变公司运营竞争环境的事件发生？如有，则概率将发生改变。
（3）决定投资数量。在你所有的投资基金中，你将为这笔购入投资多大比例？使用凯利计算公式，然后做相应的下调，大概下调一半为好。
（4）等待最佳机会。当成功概率转向你方时，你就拥有了安全边际；局势越不明朗的情况下，你就越应当留出更多的安全边际。在股市上，安全边际是由股价的折扣来实现的。当你喜爱的公司正在以低于其内在价值出售时（内在价值已在你分析概率的过程中给出定值），这是你出击的信号。
很明显，上述过程将循环反复地进行。当条件改变时，概率也随之改变。有了新的概率就需要新的安全边际，由此你也要调整构成最佳时机的感觉。如果这一切对你来说太困难，你可以设想你每次开车时遇到的上百种选择以及你随时随地对你遇到的新情况作出的反应和调整。你手中的赌注实在太大了——你个人的安全以及他人的安全——但你并没有花太多的心思就进行了应变。相比之下，跟踪几家公司的信息相对容易得多。这只是经验的问题。
人类并没有被赋予随时随地感知一切、了解一切的天赋。但是人类如果努力去了解，去感知——通过筛选众多的机会——就一定能找到一个错位的赌注。聪明的人会在世界提供给他这一机遇时下大赌注。当成功概率很高时他们下了大赌注，而其余的时间他们按兵不动，事情就是这么简单。
数字之美这个世界上充满了热爱数字的人。他们对数学的欣赏就像其他人对古典音乐或精美的古董家具的欣赏一样。对他们来说，谈论概率计算本身就是一种乐趣。对其他人来说，数学仅是一种工具。它可以帮助我们做事或增加我们对事物的理解。像其他所有的工具一样，数学需要我们花时间去适应它。你用它做的练习越多，它就变得越容易。
对运用于投资的这种初级数学，你必须学以致用，而且日积月累地应用于生活中。
如果你不能将这种初级数学中的初级概率应用于生活中的方方面面（尽管应用得有些不自然），那么，你的一生就像一个瘸腿的人参加赛跑，永远处于不利的地位。如果拥有这种数学能力，你就会比别人拥有巨大的优势。
毫无疑问，巴菲特的成功与其数学能力密切相关。巴菲特的优点之一，是他总是自觉地从决策树的角度思考问题，并从数学的排列与组合的角度思考问题。多数人则不这样做。多数投资者似乎以一种先入为主的心态从多角度考虑问题。他们趋向于从不同的角度作出决策，而忽略概率的计算。
以概率的方式思考问题并非是不可能的。它要求我们以不同的态度来对待问题。况且如果你的投资分析假设不以统计概率数字来表示，你得出的结论就有带感情色彩之嫌。但是，如果你能教会自己从概率的角度思考问题，你将从此踏上获利之路，并能从自身的经验中吸取教训。市场对可口可乐公司或其他杰出公司的内在价值大幅低估的情况也许不会常出现，但是当它的确发生时，你应当在财力上和心理上都做好押大赌注的准备。与此同时，你应继续保持对股市的研究，你应相信市场一定会在某一天给你一个压倒一切的极好的投资成功机会。巴菲特说：“考虑到成为不可避免、必将发生的事物的代价，我和查理都意识到，我们永远都达不到漂亮的50 点，甚至连闪光的20 点也达不到。为了应付我们的证券投资里注定要发生的事件，我们只能多增加几分概率。
