1.神秘的哥德巴赫猜想
多年以前一篇题为《哥德巴赫猜想》的报告文学发表后，让中国的老百姓认识了中国数学家陈景润，同时也知道了哥德巴赫猜想。这个猜想让世界许多国家的数学家呕心沥血。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫于1742年在给瑞士大数学家欧拉的一封信中提出的一个关于整数表示为素数之和的猜想。这个猜想经过250多年许多世界顶尖的数学家的努力，至今还没有最终解决。现在保持世界领先成果的是中国数学家陈景润的（1＋2）。
哥德巴赫猜想说的是什么呢？它说明的是每一个不小于6的偶数可表示为两个奇素数之和。如果我们把一个大偶数可表示为一个素数和一个素因子的个数不超过P的整数之和的命题简记为（1＋P）的话，哥德巴赫猜想则可简记为（1＋1），即一个大的偶数可表为两个素数之和。
有数学家验证了对于不大于5×108的偶数哥德巴赫猜想是对的，所以只要证明对充分大的偶数哥德巴赫猜想是对的。对这个猜想的研究到20世纪20年代才出现重要的进展。1947年匈牙利数学家瑞尼证明了（1＋P），但他无法给出P的上界，按他的方法计算将是个天文数字；1962年山东大学的潘承洞院士独立地推出了关于算术数列中素数分布的一条中值定理，从而证明了（1＋5），这个突破是至关重要的，因为中值定理的改进对猜想的证明是关键；随后王元院士、潘承洞院士和苏联数学家巴尔巴恩证明了（1＋4）；1965年苏联数学家维诺格拉朵夫又推出（1＋3）；1966年陈景润院士在《科学通报》上声明他已证明（1＋2），并于1973年将证明的全文发表在《中国科学》上。从上可见，试图解决哥德巴赫猜想的过程真是个世界级数学竞赛，而且这个竞赛还没有结束。
数学的证明是建立在严密的逻辑推演之上的，而不是可通过描述性的说明来完成。哥德巴赫猜想的叙述是简单明了的，但从解决这个猜想的历史来看，它无疑是个世界级难题，要最终解决这个猜想需要现代数学的手段。谁来走（1＋2）到（1＋1）这最后的一步呢？新世纪的我们在等待着。
2.极限中的微积分
微积分是数学史上最伟大的创造之一，是由英国的牛顿和德国的莱布尼兹于17世纪创造的。牛顿的出发点是变化率，而莱布尼兹的则是微分。创立微积分的动力来自于17世纪的主要的科学问题：
如：甲求运动物体的瞬时速度；乙求曲线的切线；丙求一个物体对另一个物体的引力；丁求曲线所围的面积等。
甲和乙、丙和丁看似毫不相干的问题，在数学上却发现是相同的，前者就是求导数，后者则可归为积分——反微分。数学就是从一些特殊的问题中提炼出来，研究其普遍规律的，而这种普遍性使得数学具有广泛的应用性，并渗透到各个领域。
我们来计算半径为1的圆的周长，请画个图想一想。这儿有个简便的方法：在圆内画个内接正六边形，然后在正六边形每个边对应的弧的中点连接边的两端，画正十二边形，如此画下去，可以发现正边形的周边，越来越逼近圆周。可设想圆周长就是正边形的周边长的极限——这是微积分中的一个重要概念。在这个计算过程中，我们用了易测量的直线段来代替弧，这就是微分的思想：以直代曲。这样做显然会有误差，解决误差的办法，就是精细地、无限地做下去的极限。积分就是无限精细下去的“累加”，所以圆周长就是个积分值，它正是内接正边形的边长总和的极限。
微积分中的一个重要概念就是：函数在一点处的极限是函数值随自变量趋于一个确定的点时所趋于的那个惟一确定的数；导数是函数对自变量的变化率，即函数平均变化率的极限。微分是微积分中与导数密切相关的另一个重要的概念，在确定的一点XO处任给一个增量h，如果函数具有如下表示式：
f（XO＋h）-f（XO）=Ah＋0（h）
其中A是个确定的数，仅（h）是一个较h趋于零速度更快地趋于零的量，那么Ah就是函数f（x）在XO处的微分y=f（XO＋h）是个曲线，y=Ah是个线段，而仅（h）就是误差。从导数的定义容易看出A就是f（x）在xo处的导数。如果我们把式中的仅（h）扔掉，就得到微分在近似计算上的应用；积分是微分的逆运算，有关求和的问题可用它来计算；级数可以说明为无限个数按照一定的顺序逐个加起来的形式，这个形式可能有一个确定的和数，也可能没有，这是有限向无限在思想上的一个飞跃。
3.有精确边界的模糊数学
康德的经典集合论基于同一律、矛盾律和排中律这三大定律。也就是说，对于任何给定的集合，我们研究的对象要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，且仅居其一。然而，在现实生活中，很多情况并不具有这种清晰性。例如“老人”、“高个子”、“高温”、“秃头”、“阴天”、“黄昏”等。于是查德于1965年给出了“模糊集合”的概念。这一概念是相对于经典集合而提出的。我们可以回想一下什么是经典集合。
模糊集合是模糊数学的基础。模糊数学是研究处理模糊现象的数学，其中模糊性是指事物的差异的中间过渡性所引起的划分上的“亦此亦彼”性。模糊数学的研究受到了越来越广泛的重视，其应用范围已遍及理、工、农、医和社会科学等诸多领域，并已显示出巨大的力量。
4.引发金融革命的金融数学
金融数学是20世纪90年代起蓬勃发展的新兴边缘学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视。1997年。Nobel经济学奖授予Scholes和Melton，就是为了奖励他们在期权定价（如著名的Black—Scholes公式）等金融数学方面的贡献。
长期以来，由于金融市场的不确定性与高风险性，人们一直在探索利用各种因素正确评估资产风险和期权（或衍生证券）价格的有效方法。金融数学模型的建立，对金融市场风险分析、预测与监控有着非常重要的作用。20世纪50年代末60年代初，Markowitz的投资组合的均值一方差理论与Sharpe的资本资产定价理论，开创了金融数学理论的先河，他们的理论引发了所谓的第一次“华尔街革命”。第二次“华尔街革命”是由Black和Scholes于1973年提出的衍生证券定价理论促成的。正是这两次“革命”构成了蓬勃发展的新学科——金融数学的主要内容；同时也是研究新型衍生证券设计的新学科——金融工程的理论基础。
在衍生证券定价理论中，最典型的是所谓欧式看涨期权的定价，通俗地说，此期权就是一份合约，合约双方在t=o时刻商定一个执行合约，规定买方在给定的时刻t（到期日）以执行价格买人卖方的一份股票，但只有买方有优先权，即在T时刻买方认为不合适，就可以放弃合约。显然，若该期权到期，则该期权的价值（亦即买方在t时刻获益）为股票市价与执行价格的差价的正部，这是一种只有到了t时刻才能确定其真正获益大小的随机变量，称为或有债权，一般情形的或有债权的一个重要用途就是帮助各类投资者在风险迭起的生产和贸易活动中进行套期保值，以回避风险，它也构成了目前很流行的金融工程的主要数学基础。
利用金融数学技巧获得的期权定价理论，已被推广到其他金融问题的研究之中，如期货、债券、可转换债券、利率掉期、外汇汇率等，并广泛应用于包括公司债券、可变利率抵押、抵押贷款、保险和税法在内的金融证券和合同的广阔领域。该理论和方法不仅适用于证券市场的资产定价，也适应于证券市场的风险分析。它的应用已受到各国政府的重视，而且取得了很好的实效。
5.数学技术化的运筹学
运筹学是半个世纪以来发展兴起的新兴学科。学术界比较统一的观点认为运筹学起源于第二次世界大战期间英美等国军事部门成立的研究小组，就战争中的一些战略和战术研究而形成的理论和方法。在词汇的使用上欧洲习惯于ope。.ation.al research，美国习惯于poerations research。基于这样的背景，我们选用古人“运筹帷幄，决胜千里”这一寓意相似的“运筹”两字。
人们试图给运筹学下一些简单的定义，如：“运筹学是一种科学决策的方法”、“运筹学是依据给定目标和条件从候选方案中选择最佳或较佳的方法”等。
无论如何，运筹学是一种数学技术，它通过给实际问题以优化目标、约束条件等的数学模型描述，以计算求解给决策者提供解决问题的方法和方案。运筹学主要内容包括：线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划、动态规划、随机规划、组合最优化、对策论、网络优化和决策分析等。
作为一种数学技术，运筹学在军事上有着巨大的应用价值。在第二次世界大战英美两国海空军的雷达布置、轰炸机编队等有成功的应用。正因为如此，第二次世界大战后，运筹学无论从理论还是方法应用上都得到非常迅速的发展和完善。目前，军事领域仍然是应用的一个重点，诸如军队的后勤供给、作战方案等的管理。美国在海湾战争中成功的后勤管理充分说明这种技术的效率性。无论是在企业盼发展计划、营销策略，还是物料管理、生产过程、质量控制中，都涉及运筹学问题。因此，管理科学中将运筹学方法视为基础技术，这无不说明运筹学的重要性。信息科学中的密码编译、计算的并行处理、通讯网络的控制、电力系统的稳定高效等等，无一不涉及到运筹学数学技术。因此，运筹学这门数学技术必将有较大的发展并通过成功的应用而带来更大的经济效益。
6.博大精深的数论
被称为“世界第八奇迹”的中国西安秦始皇兵马俑气势恢弘，面对这威武雄壮的众多方阵，任何人都可以想像当年“扫六合吞八荒”的秦兵的气势。真要点出秦兵确切总数，岂是易事？我国自古有“秦王暗点兵”奇法，例如：“秦兵列队，每列百人则余一人，九九人则余二人，百零一人则不足二人。问秦兵几何？”一报完情况秦王就心中有“数”了！数学王子高斯说过：“数学是科学的女皇，而数论是数学的女皇”，此话不虚。这可能是因为，数论的研究对象特别基本，问题特别神奇，意境特别深远；也是因为，数论在历史上常是推动数学发展的原动力，随着数字计算机和数字通信为标志的信息时代的到来，数论，更显示出空前的重要性。大量数字化信息的传播、处理、储存和应用是知识经济时代的特征，数论及其关联的数学正是这一切的灵魂、基础和智囊。事实上，早在半个多世纪前的第二次世界大战中，盟国集合了一批优秀数论学家，破译德国密码，为22战胜利作出难以估量的贡献。这其中就包括计算机的鼻祖图灵，从而直接导致计算机的发明！数论不仅应用十分广泛、深层（例如从弦的振动，音乐理论，到现代物理，微观粒子等各领域，常发生出人意料的应用），尤其是它的理论优美深刻，直通向最现代前沿的数学。数论起源很早，自古至19世纪初的阶段，常称“初等数论”。这包括上述“秦王暗点兵”、同余式、二次剩余等。这部分历史久远，影响广泛，留下了丰富有趣的问题，例如费尔马大定理、哥德巴赫猜想等等。微积分和复变函数论发展以后，应用于数论，产生了“解析数论”，例如L函数等，可解决算术数列中存在无穷个素数等问题。数论中有些问题必须由解析方法才能提出或解决。我国华罗庚、王元、陈景润等在哥德巴赫、华林等解析数论问题上取得世界领先成就。随着两个世纪以来，尤其是20世纪以来数学的巨大发展，特别是代数、代数几何等的巨大发展，现代的数论已经高度发展融合，远不只是研究整数了，它还研究代数数论、研究代数函数、算术代数几何、椭圆曲线、模形式、局部域、表示论、超越数等等。现代数论的方法也已是代数、解析几何等的高度综合，融合着数学最现代的思想和成就。
